Considere 10 tentativas independentes de um experimento. Cada tentativa admite sucesso com probabilidade 0,05 . Seja X : o número de sucessos.
Calcular P(1<X \leq 4)

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de Bernoulli repetido n=10 vezes, com probabilidade de sucesso em cada tentativa igual a p=0,05. A variável aleatória X conta o número de sucessos em 10 tentativas e, portanto, segue a distribuição binomial de parâmetros n=10 e p=0,05. Queremos calcular
P(1 < X \le 4).

Passo 2

O evento \{1 < X \le 4\} é equivalente a \{2 \le X \le 4\}. Assim,
P(1 < X \le 4) \;=\; P(2 \le X \le 4) \;=\;\sum_{k=2}^{4}P(X=k).

Passo 3

Na distribuição binomial,
P(X=k) \;=\;\binom{10}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{10-k}.
Logo, substituindo p=0,05 e 1-p=0,95, temos
P(2 \le X \le 4) =\sum_{k=2}^{4}\binom{10}{k}(0,05)^{k}(0,95)^{10-k}.

Passo 4

Calculando termo a termo:
\binom{10}{2}=45,\quad (0,05)^2=0,0025,\quad (0,95)^8\approx0,6634
P(X=2)=45\cdot0,0025\cdot0,6634\approx0,07473
\binom{10}{3}=120,\quad (0,05)^3=0,000125,\quad (0,95)^7\approx0,6983
P(X=3)=120\cdot0,000125\cdot0,6983\approx0,01047
\binom{10}{4}=210,\quad (0,05)^4=0,00000625,\quad (0,95)^6\approx0,7351
P(X=4)=210\cdot0,00000625\cdot0,7351\approx0,00096

Passo 5

Somando os três termos:
P(2\le X\le4) \approx0,07473+0,01047+0,00096 \approx0,08616.

Resposta

P(1 < X \le 4)\approx0,0862

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