1. Numa fita de som, há um defeito a cada 200 pés. Qual a probabilidade de que:
    a) Em 500 pés não aconteça defeito? [0,082085]
    b) Em 800 pés ocorram pelo menos 3 defeitos? [0,7619]

Passo 1

O enunciado diz que, em média, aparece um defeito a cada 200 pés de fita. Isso caracteriza um processo de Poisson com taxa constante. Se X é o número de defeitos em um trecho de comprimento L, então
X \sim \text{Poisson}(\lambda),
onde \lambda = \frac{L}{200}. Usaremos a fórmula
P(X=k) = e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!}.

Passo 2

Para a parte (a), L=500, logo
\lambda = \frac{500}{200} = 2,5.
Queremos P(X=0), isto é
P(X=0) = e^{-2,5}\,\frac{2,5^0}{0!} = e^{-2,5} \approx 0,082085.

Passo 3

Para a parte (b), L=800, logo
\lambda = \frac{800}{200} = 4.
Queremos P(X\ge 3). Calculamos
P(X\ge3) = 1 - \bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr].
Como
P(X=k) = e^{-4}\,\frac{4^k}{k!},
temos
P(X=0)=e^{-4},\quad P(X=1)=4e^{-4},\quad P(X=2)=8e^{-4}.
Somando,
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = (1+4+8)\,e^{-4} = 13\,e^{-4} \approx 0,238102,
logo
P(X\ge3) = 1 - 13\,e^{-4} \approx 0,761898 \approx 0,7619.

Resposta

(a) P(X=0\text{ em 500 pés}) = 0,082085é
(b) P(X\ge3\text{ em 800 pés}) = 0,7619é

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