Considere y=f(x)=5 e^100-x^2, x <=-10. Marque a alternativa que corresponde à função inversa da f.
  1. f^-1(y)=raiz5 ln (y)+10, 0
  2. f^-1(y)=-raiz100-ln (y5), 0.
  3. f^-1(y)=-raizln (y5)+10, y >= 5;
  4. f^-1(y)=raiz100-ln (y)5, 0;
  5. f^-1(y)=-raizln (y5)-100, y >= 5;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a função inversa de , onde . Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e a ideia de função inversa. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para isolar em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa, , “desfaz” o que a função original faz. Ou seja, se , então .

Passo 3

Vamos começar substituindo y = 5 e^100 - x^2 por :
Nosso objetivo é isolar .

Passo 4

Dividimos ambos os lados por 5 para simplificar:
y5 = e^100 - x^2

Passo 5

Agora, para tirar o ln(y5) = 100 - x^2 da equação, aplicamos o logaritmo natural ( ) em ambos os lados:

Passo 6

Vamos isolar x^2 = 100 - ln(y5) . Subtraímos de ambos os lados:

Passo 7

Para encontrar x = -raiz100 - ln(y5) , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que , devemos considerar a raiz negativa:

Resposta

A função inversa é:
f^-1(y) = -raiz100 - ln(y5), 0 < y <= 5
Alternativa 2.

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