Seja g: R R diferenciável, com g(1)=pi2 e g^prime(1)=-2. Calcule f^prime(0), onde
f(x)=cos (g(e^x+x)) sen(g(e^x-x))
Observações: Escreva a resposta como um número; caso não seja inteiro, escreva com pelo menos duas casas decimais.
Resposta: 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=cosl(g(e^x+x)r),sinl(g(e^x-x)r)
no ponto x=0, sabendo que g(1)=\frac{\pi}{2} e g’(1)=-2. O conteúdo principal aqui é usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para organizar a derivação, definimos duas funções auxiliares:
A(x)=g(e^x+x),
B(x)=g(e^x-x)
Assim podemos reescrever
f(x)=cosl(A(x)r),sinl(B(x)r)

Passo 3

Vamos derivar f(x) aplicando a regra do produto e depois a cadeia em cada fator.
Temos:
f'(x) = l[cos(A(x))r]',sin(B(x)) + cos(A(x)),l[sin(B(x))r]'
Pela regra da cadeia:
l[cos(A(x))r]' = -sin(A(x)),A'(x),
l[sin(B(x))r]' = cos(B(x)),B'(x)
Logo:
f'(x) = -sinl(A(x)r),A'(x),sinl(B(x)r) + cosl(A(x)r),cosl(B(x)r),B'(x)

Passo 4

Agora precisamos de A(0), B(0), A’(0) e B’(0). Primeiro, note que e^0=1, então:
A(0)=g(1)=pi2,
B(0)=g(1)=pi2
Para as derivadas:
A'(x)=g'(e^x+x),(e^x+1),
B'(x)=g'(e^x-x),(e^x-1)
Em x=0:
A'(0)=g'(1),(1+1) = -2times2 = -4,
B'(0)=g'(1),(1-1) = -2times0 = 0

Passo 5

Basta substituir tudo em f’(0): sabemos que sin(pi/2)=1 e cos(pi/2)=0. Assim:
f'(0) = -1times(-4)times1 + 0times0times0 = 4

Resposta

4

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