Seja
diferenciável, com
e
. Calcule
, onde
Observações: Escreva a resposta como um número; caso não seja inteiro, escreva com pelo menos duas casas decimais.
Resposta: 4
Resposta: 4
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
no ponto x=0, sabendo que g(1)=\frac{\pi}{2} e g’(1)=-2. O conteúdo principal aqui é usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Para organizar a derivação, definimos duas funções auxiliares:
Assim podemos reescrever
Passo 3
Vamos derivar f(x) aplicando a regra do produto e depois a cadeia em cada fator.
Temos:
Temos:
Pela regra da cadeia:
Logo:
Passo 4
Agora precisamos de A(0), B(0), A’(0) e B’(0). Primeiro, note que e^0=1, então:
Para as derivadas:
Em x=0:
Passo 5
Basta substituir tudo em f’(0): sabemos que
e
. Assim:
Resposta
4