Considere as funções
,
,
,
.
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
O
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
f(x) é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
○
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
-
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
○
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
O
f(x) é inversível no intervalo
○
○
Passo 1
O enunciado pede pra achar onde a função
é invertível e qual dos candidatos
é a inversa certa. Vamos usar conceitos de monotonicidade (função estritamente decrescente ou crescente) e, depois, resolver
pra encontrar
.
Passo 2
Primeiro simplificamos
:
Pra checar monotonicidade, podemos ver o sinal da derivada:
Em
, temos
e
implica
. Logo
, ou seja,
é estritamente decrescente nesse intervalo, logo injetora.
Passo 3
Para ver que esse é o maior intervalo possível, note que em
temos:
e em
Se tentássemos
, o valor em
seria
, repetindo o valor de
e quebrando a injetividade.
Passo 4
Agora resolvemos
pra achar a inversa. Partimos de
Então
Como
, temos
Dessa equação,
.
Passo 5
Como escolhemos o domínio
, queremos o ramo negativo, isto é,
Isso coincide exatamente com a função
dada no enunciado.
Passo 6
Concluímos que a afirmação verdadeira é: "
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
".
Resposta
f(x) é inversível em [-√(π/2),0] e sua inversa é g(y).