Considere as funções
f(x)=cos (pi-2 x^2)-3,
g(y)=-raizpi-arcos(y+3)2,
S(y)=raizpi-arcos(y+3)2,
T(y)=-raizpi-arcos(y-3)2.
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo [-raiz (pi / 2), 0] e a inversa é dada por g(y).
O f(x) é inversível no intervalo [-raiz (2 pi / 2), 0] e a inversa é dada por g(y).
f(x) é inversível no intervalo [-checkmark(pi / 2), 0] e a inversa é dada por T(y).
f(x) é inversível no intervalo [-raiz (2 pi / 2), 0] e a inversa é dada por T(y).
  • f(x) é inversível no intervalo [-checkmark(pi / 2), 0] e a inversa é dada por S(y).
    f(x) é inversível no intervalo [-checkmark(2 pi / 2), 0] e a inversa é dada por S(y).

Passo 1

O enunciado pede pra achar onde a função f(x)=cos(pi-2x^2)-3 é invertível e qual dos candidatos g,,S,,T é a inversa certa. Vamos usar conceitos de monotonicidade (função estritamente decrescente ou crescente) e, depois, resolver y=f(x) pra encontrar f^-1(y).

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x):
f(x)=cos(pi-2x^2)-3 = -cos(2x^2)-3
Pra checar monotonicidade, podemos ver o sinal da derivada:
f'(x)= ddxl(-cos(2x^2)-3r) = -l(-sin(2x^2)cdot4xr)=4x,sin(2x^2)
Em xin[-raizpi/2,0], temos x<=0 e 2x^2in[0,pi] implica sin(2x^2)>=0. Logo f'(x)<=0, ou seja, f é estritamente decrescente nesse intervalo, logo injetora.

Passo 3

Para ver que esse é o maior intervalo possível, note que em x=-raizpi/2 temos:
f(-raizpi/2)=-cos(pi)-3 = -(-1)-3 = -2,
e em x=0
f(0)=-cos(0)-3 = -1-3 = -4
Se tentássemos [-raizpi,0], o valor em x=-raizpi seria f(-raizpi)=-4, repetindo o valor de x=0 e quebrando a injetividade.

Passo 4

Agora resolvemos y=f(x) pra achar a inversa. Partimos de
y = -cos(2x^2)-3 Longrightarrow y+3 = -cos(2x^2) Longrightarrow cos(2x^2)=-(y+3)
Então
2x^2 = arccosl(-(y+3)r)
Como arccos(-(u)) = pi - arccos(u), temos
2x^2 = pi - arccos(y+3) Longrightarrow x^2 = pi - arccos(y+3)2
Dessa equação, x=pmraiz(pi-arccos(y+3))/2.

Passo 5

Como escolhemos o domínio xin[-raizpi/2,0], queremos o ramo negativo, isto é,
f^-1(y)=x(y) = -raizpi-arccos(y+3)2
Isso coincide exatamente com a função g(y) dada no enunciado.

Passo 6

Concluímos que a afirmação verdadeira é: " f(x) é inversível no intervalo [-raizpi/2,0] e a inversa é dada por g(y)".

Resposta

f(x) é inversível em [-√(π/2),0] e sua inversa é g(y).

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