Considere f(x)=arctg(x), x in(-infty, infty) e y=g(x) uma função diferenciável e injetora em R da qual se sabe:
g(1)=5, g^prime(1)=4, g(0)=-1, g^prime(0)=1 / 5, g(pi / 4)=0, g^prime(pi / 4)=3.
Seja h(y)=(g circ f)^-1(y). Determine a equação da reta tangente ao gráfico de h em (0, h(0)).
Escolha uma opção:
z(y)=23 y+1
z(y)=5 y+1
z(y)=32(y-1)+1
z(y)=15 y-1.
  • Não há dados suficientes para determinar a solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e uma outra função que é diferenciável e injetora, ou seja, cada tem um único . Foram dados alguns valores de e sua derivada. Queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de composição de funções, derivadas e reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que é a função inversa da composição de e . Ou seja, se , então .

Passo 3

Queremos a reta tangente a no ponto . Precisamos encontrar e a derivada para determinar a inclinação da reta.

Passo 4

Para encontrar , usamos a relação . Quando , temos . Precisamos achar o tal que .

Passo 5

Sabemos que arctan(x) = pi4 . Então, x = tan(pi4) = 1 . Como , temos:
Resolvendo para :
Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos encontrar h'(y) = 1(g circ f)'(h(y)) . Sabemos que é a inversa de , então pela regra da cadeia para funções inversas:
Precisamos calcular .

Passo 7

Usando a regra da cadeia:
(g circ f)'(x) = g'(f(x)) cdot f'(x)
Sabemos que , então .

Passo 8

No ponto onde (g circ f)'(1) = g'(f(1)) cdot f'(1) , encontramos que g'(pi4) = 3 e f'(1) = 11 + 1^2 = 12 . Portanto:
(g circ f)'(1) = 3 cdot 12 = 32
Como , temos:
Então:

Passo 9

Agora, podemos encontrar h'(0) = 1(g circ f)'(1) = 132 = 23 :

Passo 10

Com z(y) = h'(0) cdot (y - 0) + h(0) = 23 y + 1 e , a equação da reta tangente é dada por:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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