Considere
e
uma função diferenciável e injetora em
da qual se sabe:
.
Seja
. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
Escolha uma opção:
○
○
○
.
- Não há dados suficientes para determinar a solução.
Seja
Escolha uma opção:
○
○
○
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e uma outra função
que é diferenciável e injetora, ou seja, cada
tem um único
. Foram dados alguns valores de
e sua derivada. Queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de composição de funções, derivadas e reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
é a função inversa da composição de
e
. Ou seja, se
, então
.
Passo 3
Queremos a reta tangente a
no ponto
. Precisamos encontrar
e a derivada
para determinar a inclinação da reta.
Passo 4
Para encontrar
, usamos a relação
. Quando
, temos
. Precisamos achar o
tal que
.
Passo 5
Sabemos que
. Então,
. Como
, temos:
Resolvendo para
:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que
é a inversa de
, então pela regra da cadeia para funções inversas:
Precisamos calcular
.
Passo 7
Usando a regra da cadeia:
Sabemos que
, então
.
Passo 8
No ponto onde
, encontramos que
. Portanto:
Como
, temos:
Então:
Passo 9
Agora, podemos encontrar
:
Passo 10
Com
e
, a equação da reta tangente é dada por:
Resposta
A equação da reta tangente é
.