Considere
f(x)=1x^2+3 x+2
Encontre o domínio de f, assíntotas (se houver); máximos e mínimos locais e globais; pontos de inflexão; intervalos onde f é crescente ou decrescente; intervalos onde f é côncava para cima ou côncava para baixo. Dados:
& f^prime(x)=-2 x+3(x^2+3 x+2)^2 & f^prime prime(x)=2 3 x^2+9 x+7(x^2+3 x+2)^3

Passo 1

O enunciado pede várias características da função
f(x)=1x^2+3x+2,
O conteúdo envolve análise de domínio, assíntotas, derivadas primeira e segunda para monotonicidade, extremos locais e globais, concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Para achar o domínio resolvemos o zero do denominador
x^2+3x+2=(x+1)(x+2)=0implies x=-1,,-2
Logo o domínio é
Rsetminus-2,-1
Como em x=-2 e x=-1 o denominador se anula, temos assíntotas verticais
x=-2, x=-1
Para xtopminfty, f(x)to0, de modo que
y=0
é assíntota horizontal.

Passo 3

Usamos
f'(x)=-2x+3(x^2+3x+2)^2
O denominador ao quadrado é sempre positivo (onde definido), então o sinal de f' é oposto ao sinal de 2x+3. Zera em
2x+3=0implies x=-tfrac32
Para x<-tfrac32 temos 2x+3<0 e f'>0, e para x>-tfrac32 temos 2x+3>0 e f'<0. Como o domínio está em quatro intervalos (-infty,-2), (-2,-1,5), (-1,5,-1) e (-1,infty), concluímos:
- crescente em (-infty,-2)cup(-2,-tfrac32),
- decrescente em (-tfrac32,-1)cup(-1,infty).

Passo 4

Como f' muda de positivo para negativo ao passar por x=-tfrac32, há um máximo local em x=-tfrac32. Calculamos
fl(-tfrac32r) =1(-tfrac32)^2+3(-tfrac32)+2 =12,25-4,5+2 =1-0,25 =-4
Não há outros pontos em que f'=0, logo não há mínimos locais.

Passo 5

Para a concavidade usamos
f''(x) =2,3x^2+9x+7(x^2+3x+2)^3
O numerador 3x^2+9x+7 é sempre positivo (discriminante negativo), logo o sinal de f'' é o sinal de (x^2+3x+2)^3, isto é, o de (x+1)(x+2). Assim:
- f''(x)>0 (côncavo para cima) em (-infty,-2)cup(-1,infty),
- f''(x)<0 (côncavo para baixo) em (-2,-1).
Não há zeros de f'' na reta (só descontinuidades), portanto não há pontos de inflexão.

Passo 6

Quanto a extremos globais, em cada ramo a função tende a 0 em pminfty ou a pminfty nas assíntotas, sem atingir valores máximos ou mínimos absolutos.

Resposta

Domínio: Rsetminus-2,-1
Assíntotas verticais: x=-2, x=-1
Assíntota horizontal: y=0
Crescente em (-infty,-2)cup(-2,-tfrac32)
Decrescente em (-tfrac32,-1)cup(-1,infty)
Máximo local em x=-tfrac32, com f(-tfrac32)=-4
Sem mínimos locais
Côncavo para cima em (-infty,-2)cup(-1,infty)
Côncavo para baixo em (-2,-1)
Sem pontos de inflexão
Sem extremos globais.

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