Encontre a área do maior retângulo inscrito na elipse x^2a^2+y^2b^2=1 e com os lados paralelos aos eixos coordenados, onde a>0 e b>0.

Passo 1

O enunciado pede a área do maior retângulo inscrito na elipse
x^2a^2+y^2b^2=1, a>0,;b>0,
com lados paralelos aos eixos. Vamos usar simetria para expressar a área em função de x e depois maximizar por derivada.

Passo 2

Escolhendo vértices (pm x,pm y), a condição de inscrição dá
x^2a^2+y^2b^2=1 Longrightarrow y = braiz1-x^2a^2
A área do retângulo vale
A(x) = 4,x,y = 4,x,braiz1-x^2a^2

Passo 3

Para maximizar A(x) em 0<x<a, calculamos
A'(x) =4bl(raiz1-tfracx^2a^2 +xcdot-tfracxa^2raiz1-tfracx^2a^2r) =4b,1-tfrac2x^2a^2raiz1-tfracx^2a^2
Igualando a zero dá
1-2x^2a^2=0,
de onde
x^2=a^22

Passo 4

Com x=araiz2 segue
y = braiz1-tfrac12 = braiz2,
logo a área máxima é
Amax =4cdotaraiz2cdotbraiz2 =2ab

Resposta

A área do maior retângulo inscrito é ,2ab.

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