Usando translações, esboce o gráfico das funções:
f(x)=1x-3+1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)= usando translações. O conteúdo é transformações de gráfico de funções racionais, mais precisamente da função-pai 1/(x-3)+1. Vamos precisar identificar as assíntotas e entender como os deslocamentos horizontal e vertical modificam o gráfico original.

Passo 2

A função-pai g(x)=1/x é uma hipérbole com duas assíntotas: vertical em x=0 e horizontal em y=0. O ramo no primeiro quadrante decresce de +infty para 0 e o ramo no terceiro quadrante cresce de -infty para 0.

Passo 3

Substituir x por x-3 em g(x) faz um deslocamento horizontal de 3 unidades para a direita. Assim, a assíntota vertical x=0 passa a ser
x=3

Passo 4

Adicionar +1 ao resultado faz um deslocamento vertical de 1 unidade para cima. A assíntota horizontal y=0 passa a ser
y=1

Passo 5

Para ter ideia do formato, podemos transportar alguns pontos típicos de g(x). Por exemplo, em g(x):
g(1)=1, g(2)=tfrac12, g(-1)=-1, g(-2)=-tfrac12
Após a tradução para f(x):
f(4)=1/(4-3)+1=2, f(5)=1/(5-3)+1=1.5, f(2)=1/(2-3)+1=0, f(1)=1/(1-3)+1=0.5

Passo 6

Com isso temos dois ramos de hipérbole que se aproximam das assíntotas x=3 e y=1, passando pelos pontos calculados. É só desenhar esses ramos suavemente.
O esboço final é a hipérbole deslocada: um ramo no canto superior direito de (3,1), decrescendo de +∞ até se aproximar de y=1, e outro ramo no canto inferior esquerdo, crescendo de –∞ até y=1.

Resposta

É a hipérbole obtida a partir de g(x)=1/x deslocada 3 unidades para a direita e 1 unidade para cima, com assíntotas em x=3 e y=1.

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