Considere f(x, y)=2 x^3+2 x^2 y^3-3 y^4, x(t)=(1+2 t)^2 e y(t)=e^2 x. Utilize a regra da cadeia para determinar a derivada de f com relação a t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) = 2x^{3} + 2x{2}y{3} - 3y^{4} $ e as funções $ x(t) = (1 + 2t)^{2} $ e $ y(t) = e^{2x} $. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de $ f $ em relação a $ t $ usando a regra da cadeia. Isso significa que vamos precisar entender como as variáveis $ x $ e $ y $ mudam com $ t $ e como isso afeta $ f $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra, a regra da cadeia nos ajuda a encontrar a derivada dessa função composta. No nosso caso, $ f $ depende de $ x $ e $ y $, e tanto $ x $ quanto $ y $ dependem de $ t $. Então, para encontrar $ \frac{df}{dt} $, precisamos derivar $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e depois multiplicar pelas derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
f
x

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $. Começando por $ x(t) = (1 + 2t)^{2} $:
x(t)
Para $ y(t) = e^{2x} $, usamos a regra da cadeia novamente, já que $ y $ depende de $ x $, que por sua vez depende de $ t $:
y(t)

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais e as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $, aplicamos a regra da cadeia para encontrar $ \frac{df}{dt} $:
x
Substituindo os valores que encontramos:
y

Resposta

A derivada de $ f $ em relação a $ t $ é:
f

Exercícios relacionados