O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t=tg(x / 2) converte qualquer função racional de sen x e cos x em uma função racional de t.
(a) Assuma que -pi e mostre que se t=tg(x / 2), então
(b) Nas condições do item anterior, mostre que
sen(x2)=traiz1+t^2 e cos (x2)=1raiz1+t^2
© Utilize a substituição sen x=2 t1+t^2, cos x=1-t^21+t^2 e d x=21+t^2 d t para calcular a integral t=tg(x / 2).

Passo 1

A questão trata da substituição de Weierstrass, ou seja, usar t= tan(x/2) para transformar funções racionais em sen x e cos x numa função racional em t. O conteúdo é substituição trigonométrica e dupla\xad-ângulo; vamos precisar das definições de sen e cos, da identidade trigonométrica sin^2+cos^2=1 e das fórmulas de ângulo duplo.

Passo 2

Começamos por (a). Como t=tan(x/2)=dfracsin(x/2)cos(x/2), temos sin(x/2)=tcos(x/2). Usando sin^2(x/2)+cos^2(x/2)=1 e substituindo sin(x/2)=tcos(x/2) obtemos
(tcos(x/2))^2+cos^2(x/2)=1 Longrightarrow (1+t^2)cos^2(x/2)=1 Longrightarrow cos(x/2)=1raiz1+t^2
Logo,
sin(x/2)=tcos(x/2)=traiz1+t^2 e cos(x/2)=1raiz1+t^2

Passo 3

Passando a (b), usamos as fórmulas de ângulo duplo:
sin x=2sin(x/2)cos(x/2)=2traiz1+t^21raiz1+t^2=2t1+t^2,
cos x=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=1-t^21+t^2

Passo 4

Para dx, derivamos t=tan(x/2):
dt=tfrac12sec^2(x/2),dx=tfrac12(1+tan^2(x/2)),dx=tfrac12(1+t^2),dx,
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dx=2,dt1+t^2

Passo 5

Em © substituímos em
integraldx3sin x-4cos x = integral 2,dt/(1+t^2)32t1+t^2-41-t^21+t^2
O denominador fica
32t1+t^2-41-t^21+t^2=6t-4+4t^21+t^2=4t^2+6t-41+t^2
Assim a integral é
integral 2,dt/(1+t^2)(4t^2+6t-4)/(1+t^2)=integral 2,dt4t^2+6t-4=integral dt2t^2+3t-2

Passo 6

Fazendo frações parciais em 2t^2+3t-2=(2t-1)(t+2), escrevemos
12t^2+3t-2=A2t-1+Bt+2,
com A=2/5 e B=-1/5. Integrando, obtemos
integraldt2t^2+3t-2=15ln|2t-1| -15ln|t+2|+C =15ln|2t-1t+2|+C

Passo 7

Finalmente, como t=tan(x/2), a resposta em função de x é dada abaixo.

Resposta

15ln!|2tan(x/2)-1tan(x/2)+2| + C

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