O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de sen
e
em uma função racional de
.
(a) Assuma que
e mostre que se
, então
(b) Nas condições do item anterior, mostre que
© Utilize a substituição
para calcular a integral
.
(a) Assuma que
Passo 1
A questão trata da substituição de Weierstrass, ou seja, usar t=
para transformar funções racionais em sen x e cos x numa função racional em t. O conteúdo é substituição trigonométrica e dupla\xad-ângulo; vamos precisar das definições de sen e cos, da identidade trigonométrica
e das fórmulas de ângulo duplo.
Passo 2
Começamos por (a). Como
, temos
. Usando
e substituindo
obtemos
Logo,
Passo 3
Passando a (b), usamos as fórmulas de ângulo duplo:
Passo 4
Para
, derivamos
:
logo
Passo 5
Em © substituímos em
O denominador fica
Assim a integral é
Passo 6
Fazendo frações parciais em
, escrevemos
com
Passo 7
Finalmente, como
, a resposta em função de
é dada abaixo.