Considere a seguinte função de duas variáveis,
f(x, y)=2 x^3+2 x^2 y^3-3 y^4
Encontre a derivada direcional de f, na direção v=(1,1), no ponto (1, 2, z0 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis:
f(x, y) = 2x^3 + 2x^2 y^3 - 3y^4
E queremos encontrar a derivada direcional dessa função na direção do vetor v = (1, 1) no ponto (1, 2, z0). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais, gradiente e como calcular derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção v é calculada usando o gradiente da função. O gradiente, nabla f, é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos começar calculando as derivadas parciais de f em relação a x e y.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x:
partial fpartial x = partialpartial x (2x^3 + 2x^2 y^3 - 3y^4) = 6x^2 + 4x y^3
Agora, a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y = partialpartial y (2x^3 + 2x^2 y^3 - 3y^4) = 6x^2 y^2 - 12y^3

Passo 4

Com as derivadas parciais, podemos montar o gradiente da função:
nabla f(x, y) = (6x^2 + 4x y^3, 6x^2 y^2 - 12y^3)

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico (1, 2):
Substituindo x = 1 e y = 2:
nabla f(1, 2) = (6(1)^2 + 4(1)(2)^3, 6(1)^2(2)^2 - 12(2)^3) = (6 + 32, 24 - 96) = (38, -72)

Passo 6

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção v = (1, 1) para torná-lo um vetor unitário. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude:
|v| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Então, o vetor unitário na direção de v é:
u = (1raiz2, 1raiz2)

Passo 7

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:
Du f(1, 2) = nabla f(1, 2) cdot u = (38)(1raiz2) + (-72)(1raiz2) = 38 - 72raiz2 = -34raiz2 = -17raiz2

Resposta

A derivada direcional de f na direção de v = (1, 1) no ponto (1, 2, z0) é -17raiz2.

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