Considere a seguinte função de duas variáveis,
Encontre a derivada direcional de
, na direção
, no ponto (1, 2,
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis:
E queremos encontrar a derivada direcional dessa função na direção do vetor
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais, gradiente e como calcular derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção
é calculada usando o gradiente da função. O gradiente,
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais, podemos montar o gradiente da função:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
para torná-lo um vetor unitário. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 7
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
na direção de
no ponto
é
.