Determine as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y de primeira ordem da função.

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função por partes
f(x,y)=\begin{cases}(x^3 - y2)/(x2 + y^2)&se;(x,y)\neq(0,0)\0&se;(x,y)=(0,0). Precisamos usar a regra do quociente para o caso genérico e a definição de derivada parcial no ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0), vamos calcular ∂f/∂x usando a regra do quociente. Sejam N(x,y)=x^3 - y^2 e D(x,y)=x^2 + y^2. Então
[
\frac{\partial f}{\partial x}
= \frac{\frac{\partial N}{\partial x},D - N,\frac{\partial D}{\partial x}}{D^2}
= \frac{3x2(x2+y^2) - (x^3 - y2),2x}{(x2+y2)2}.

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
3x2(x2+y2)=3x4+3x2y2 e
(x^3 - y2)2x=2x4 - 2xy^2,
então
Logo
[
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)
= \frac{x^4 + (3x2+2x)y2}{(x2+y2)^2}\quadpara(x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Ainda para (x,y)\neq(0,0), calculamos ∂f/∂y pela regra do quociente com N e D definidos acima:

Passo 5

Fatorando o numerador em ∂f/∂y, obtemos
-2x^2y -2x^3y = -2x^2y(1+x),
logo
[
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)
= -\frac{2x2y(1+x)}{(x2+y2)2}\quadpara(x,y)\neq(0,0).

Passo 6

Agora vamos ao ponto (0,0). Pela definição de derivada parcial,
partial fpartial x(0,0) = limhto0 f(h,0)-f(0,0)h = limhto0 h - 0h =1,
pois f(h,0)=(h3-0)/h2=h.

Passo 7

Para ∂f/\partial y em (0,0), usamos
partial fpartial y(0,0) = limhto0 f(0,h)-f(0,0)h = limhto0 -1 - 0h = limhto0 l(-tfrac1hr),
que não existe (diverge quando h→0).

Resposta

Para (x,y)≠(0,0):
partial fpartial x(x,y) = x^4 + (3x^2+2x)y^2(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y(x,y) = -2x^2y(1+x)(x^2+y^2)^2
No ponto (0,0):
partial fpartial x(0,0)=1,
$$
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)não existe.\n$$

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