Determine as derivadas parciais
e
de primeira ordem da função.
Passo 1
O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função por partes
f(x,y)=\begin{cases}(x^3 - y2)/(x2 + y^2)&se;(x,y)\neq(0,0)\0&se;(x,y)=(0,0). Precisamos usar a regra do quociente para o caso genérico e a definição de derivada parcial no ponto (0,0).
f(x,y)=\begin{cases}(x^3 - y2)/(x2 + y^2)&se;(x,y)\neq(0,0)\0&se;(x,y)=(0,0). Precisamos usar a regra do quociente para o caso genérico e a definição de derivada parcial no ponto (0,0).
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0), vamos calcular ∂f/∂x usando a regra do quociente. Sejam N(x,y)=x^3 - y^2 e D(x,y)=x^2 + y^2. Então
[
\frac{\partial f}{\partial x}
= \frac{\frac{\partial N}{\partial x},D - N,\frac{\partial D}{\partial x}}{D^2}
= \frac{3x2(x2+y^2) - (x^3 - y2),2x}{(x2+y2)2}.
\frac{\partial f}{\partial x}
= \frac{\frac{\partial N}{\partial x},D - N,\frac{\partial D}{\partial x}}{D^2}
= \frac{3x2(x2+y^2) - (x^3 - y2),2x}{(x2+y2)2}.
Passo 3
Agora simplificamos o numerador:
3x2(x2+y2)=3x4+3x2y2 e
(x^3 - y2)2x=2x4 - 2xy^2,
então
3x2(x2+y2)=3x4+3x2y2 e
(x^3 - y2)2x=2x4 - 2xy^2,
então
Logo
[
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)
= \frac{x^4 + (3x2+2x)y2}{(x2+y2)^2}\quadpara(x,y)\neq(0,0).
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)
= \frac{x^4 + (3x2+2x)y2}{(x2+y2)^2}\quadpara(x,y)\neq(0,0).
Passo 4
Ainda para (x,y)\neq(0,0), calculamos ∂f/∂y pela regra do quociente com N e D definidos acima:
Passo 5
Fatorando o numerador em ∂f/∂y, obtemos
logo
[
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)
= -\frac{2x2y(1+x)}{(x2+y2)2}\quadpara(x,y)\neq(0,0).
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)
= -\frac{2x2y(1+x)}{(x2+y2)2}\quadpara(x,y)\neq(0,0).
Passo 6
Agora vamos ao ponto (0,0). Pela definição de derivada parcial,
pois f(h,0)=(h3-0)/h2=h.
Passo 7
Para ∂f/\partial y em (0,0), usamos
que não existe (diverge quando h→0).
Resposta
Para (x,y)≠(0,0):
No ponto (0,0):
$$
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)não existe.\n$$