Considere
. Marque a alternativa que corresponde à função inversa da
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função $ f(x) = 4 e^{36 - x^{2}} $ definida para $ x \leq -6 $ e pede para identificar qual das alternativas corresponde à função inversa de $ f $. Para isso, vamos precisar entender como encontrar uma função inversa e utilizar um pouco de álgebra e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa encontrar a função inversa. Basicamente, queremos encontrar uma função $ f^{-1}(y) $ que, quando aplicada a $ y = f(x) $, nos devolva o valor de $ x $. Em outras palavras, se $ y = f(x) $, então $ x = f^{-1}(y) $.
Passo 3
Começamos substituindo $ y $ na função original:
Nosso objetivo é isolar $ x $.
Passo 4
Primeiro, dividimos ambos os lados por 4 para simplificar:
Passo 5
Agora, para eliminar o exponencial, aplicamos o logaritmo natural ($ \ln $) nos dois lados da equação:
Passo 6
Vamos isolar $ x^{2} $:
Passo 7
Para encontrar $ x $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Entretanto, precisamos lembrar que a função original está definida para $ x \leq -6 $, o que significa que $ x $ é negativo. Portanto, consideramos apenas a raiz negativa:
Passo 8
Assim, a função inversa é:
Isso porque, conforme $ x $ diminui (mais negativo), $ y = 4 e^{36 - x^{2}} $ diminui, mas sempre permanece positiva e menor ou igual a 4.
Resposta
A alternativa correta é a 5: