Considere y=f(x)=4 e^36-x^2, x <=-6. Marque a alternativa que corresponde à função inversa da f.
  1. f^-1(y)=-raizln (y4)+6, y >= 4;
  2. f^-1(y)=raiz36-ln (y)4, 0
  3. f^-1(y)=-raizln (y4)-36, y >= 4;
  4. f^-1(y)=raiz4 ln (y)+6, 0
  5. f^-1(y)=-raiz36-ln (y4), 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função $ f(x) = 4 e^{36 - x^{2}} $ definida para $ x \leq -6 $ e pede para identificar qual das alternativas corresponde à função inversa de $ f $. Para isso, vamos precisar entender como encontrar uma função inversa e utilizar um pouco de álgebra e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa encontrar a função inversa. Basicamente, queremos encontrar uma função $ f^{-1}(y) $ que, quando aplicada a $ y = f(x) $, nos devolva o valor de $ x $. Em outras palavras, se $ y = f(x) $, então $ x = f^{-1}(y) $.

Passo 3

Começamos substituindo $ y $ na função original:
y
Nosso objetivo é isolar $ x $.

Passo 4

Primeiro, dividimos ambos os lados por 4 para simplificar:
y4 = e^36 - x^2

Passo 5

Agora, para eliminar o exponencial, aplicamos o logaritmo natural ($ \ln $) nos dois lados da equação:
ln

Passo 6

Vamos isolar $ x^{2} $:
x^2

Passo 7

Para encontrar $ x $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Entretanto, precisamos lembrar que a função original está definida para $ x \leq -6 $, o que significa que $ x $ é negativo. Portanto, consideramos apenas a raiz negativa:
x

Passo 8

Assim, a função inversa é:
f^-1(y) = -raiz36 - ln(y4), 0 < y <= 4
Isso porque, conforme $ x $ diminui (mais negativo), $ y = 4 e^{36 - x^{2}} $ diminui, mas sempre permanece positiva e menor ou igual a 4.

Resposta

A alternativa correta é a 5:
f^-1(y) = -raiz36 - ln(y4), 0 < y <= 4

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