Considere y=f(x)=3 e^x^2-36, x >= 6. Marque a alternativa que corresponde à função inversa da f.
  1. f^-1(y)=raizln (y3)+6, y >= 3;
  2. f^-1(y)=raizln (y)3+36, 0;
  3. f^-1(y)=raiz3 ln (y)+6, 0
  4. f^-1(y)=raizln (y3)+36, y >= 3;
  5. f^-1(y)=raizln (y)ln (3)+6, y >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ y = f(x) = 3 e{x{2} - 36} $ onde $ x \geq 6 $. O objetivo aqui é encontrar a função inversa de $ f $, ou seja, $ f^{-1}(y) $. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender o que significa encontrar uma função inversa. Basicamente, a função inversa “desfaz” a função original. Se você tem $ y = f(x) $, então $ x = f^{-1}(y) $. Nosso trabalho é reorganizar a equação para resolver $ x $ em termos de $ y $.

Passo 3

Começamos com a equação original:
y = 3 e^x^2 - 36
Vamos isolar a parte exponencial. Para isso, dividimos ambos os lados por 3:
y3 = e^x^2 - 36

Passo 4

Agora, para tirar o $ e e \ln $), que é o inverso da função exponencial. Aplicamos $ \ln $ em ambos os lados:
ln

Passo 5

O próximo passo é isolar $ x^{2} $. Para isso, somamos 36 em ambos os lados:
x^2

Passo 6

Para resolver $ x $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Como $ x \geq 6 $, consideramos apenas a raiz positiva:
x

Passo 7

Prontinho! Agora temos a função inversa:
f^-1(y) = raizln(y3) + 36

Resposta

A função inversa é a alternativa 4:
f^-1(y) = raizln(y3) + 36, y >= 3

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