A derivada da função f(x)=raizx^5+4 x^2sen^2(x) é:
Escolha uma opção:
f^prime(x)=5 x^4+8 x2 raizx^5+4 x^2 sen^2(x)-2 cos (x) raizx^5+4 x^2sen^3(x)
f^prime(x)=5 x^4+8 x4 raizx^5+4 x^2 sen(x) cos (x)
f^prime(x)=12 raizx^5+4 x^2 sen^2(x)-2 cos (x) raizx^5+4 x^2sen^3(x)
f^prime(x)=raiz5 x^4+8 xsen^2(x) 2 cos (x) raizx^5+4 x^2sen^3(x)
f^prime(x)=5 x^4+8 x2 raizx^5+4 x^2 sen^2(x)-2 raizx^5+4 x^2sen^3(x)

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Queremos encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{\sqrt{x^{5}+4 x{2}}}{\operatorname{sen}{2}(x)} $. Para isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia da derivação.

Passo 2

Identificando as Partes da Função:
A função $ f(x) $ é um quociente de duas funções:
  • Numerador: $ u(x) = \sqrt{x^{5} + 4x^{2}} $
  • Denominador: $ v(x) = \operatorname{sen}^{2}(x) $

Passo 3

Aplicando a Regra do Quociente:
A Regra do Quociente diz que se $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é dada por:
f(x) = u(x)v(x)
Vamos aplicar isso às nossas funções $ u(x) $ e $ v(x) $.

Passo 4

Derivando o Numerador $ u(x) $:
Temos $ u(x) = \sqrt{x^{5} + 4x^{2}} = (x^{5} + 4x{2}){1/2} $.
Usamos a Regra da Cadeia:
u(x)

Passo 5

Derivando o Denominador $ v(x) $:
Temos $ v(x) = \operatorname{sen}^{2}(x) = (\operatorname{sen}(x))^{2} $.
Novamente, aplicamos a Regra da Cadeia:
v(x)

Passo 6

Aplicando a Regra do Quociente:
Substituímos $ u’(x) $, $ v(x) $, $ u(x) $ e $ v’(x) $ na fórmula da Regra do Quociente:
u'(x)
Simplificando os termos:
v(x)

Resposta

A derivada correta da função é:
f^prime(x) = 5 x^4+8 x2 raizx^5+4 x^2 sen^2(x) - 2 cos (x) raizx^5+4 x^2sen^3(x)

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