A derivada da função
é:
Escolha uma opção:
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Passo 1
Resumo do Enunciado:
Queremos encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{\sqrt{x^{5}+4 x{2}}}{\operatorname{sen}{2}(x)} $. Para isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia da derivação.
Queremos encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{\sqrt{x^{5}+4 x{2}}}{\operatorname{sen}{2}(x)} $. Para isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia da derivação.
Passo 2
Identificando as Partes da Função:
A função $ f(x) $ é um quociente de duas funções:
A função $ f(x) $ é um quociente de duas funções:
- Numerador: $ u(x) = \sqrt{x^{5} + 4x^{2}} $
- Denominador: $ v(x) = \operatorname{sen}^{2}(x) $
Passo 3
Aplicando a Regra do Quociente:
A Regra do Quociente diz que se $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é dada por:
A Regra do Quociente diz que se $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é dada por:
Vamos aplicar isso às nossas funções $ u(x) $ e $ v(x) $.
Passo 4
Derivando o Numerador $ u(x) $:
Temos $ u(x) = \sqrt{x^{5} + 4x^{2}} = (x^{5} + 4x{2}){1/2} $.
Usamos a Regra da Cadeia:
Temos $ u(x) = \sqrt{x^{5} + 4x^{2}} = (x^{5} + 4x{2}){1/2} $.
Usamos a Regra da Cadeia:
Passo 5
Derivando o Denominador $ v(x) $:
Temos $ v(x) = \operatorname{sen}^{2}(x) = (\operatorname{sen}(x))^{2} $.
Novamente, aplicamos a Regra da Cadeia:
Temos $ v(x) = \operatorname{sen}^{2}(x) = (\operatorname{sen}(x))^{2} $.
Novamente, aplicamos a Regra da Cadeia:
Passo 6
Aplicando a Regra do Quociente:
Substituímos $ u’(x) $, $ v(x) $, $ u(x) $ e $ v’(x) $ na fórmula da Regra do Quociente:
Substituímos $ u’(x) $, $ v(x) $, $ u(x) $ e $ v’(x) $ na fórmula da Regra do Quociente:
Simplificando os termos:
Resposta
A derivada correta da função é: