Derive a função f(x)=a^e^x, onde a>0, a neq 1, x in R.
f^prime(x)=ln (a) a^e^x e^x

Passo 1

Nesse exercício vamos encontrar a derivada de f(x)=a{ex}, usando a regra da cadeia e a relação entre potência e exponencial.

Passo 2

Primeiro, lembramos que qualquer potência de base positiva pode ser escrita como exponencial: a^u = e^{u \ln(a)}. Assim, substituímos u por e^x e obtemos:
f(x)=a^e^x=e^e^xln(a)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia à função composta f(x)=e^{g(x)}, onde g(x)=e^x\ln(a). A derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}·g’(x).
Precisamos então de g’(x). Como g(x)=e^x\ln(a), usando derivada de e^x temos
g'(x)=ln(a)cdot e^x

Passo 4

Finalmente, combinando tudo, a derivada fica:
f'(x)=e^g(x)cdot g'(x)=e^e^xln(a)cdot(ln(a)e^x)=a^e^x,ln(a),e^x

Resposta

f'(x)=ln(a),a^e^x,e^x

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