Considere T: R^3 R^3. Ache a lei de T quando
T tem autovalores lambda=0,-1 e 3 e V-1=lang<=(1,0,0)rang<= e V0=lang<=(0,1,0)rang<= e V3=lang<=(1,0,1)rang<=;
Em cada caso (a) e (b) acima escreva a matriz de T na base A=(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1). (Obs.: Sem fazer contas!)

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T: R^3to R^3 cujos autovalores são lambda=-1,0,3 e cujos eigenspaces são
V-1=lang<=(1,0,0)rang<=, V0=lang<=(0,1,0)rang<=, V3=lang<=(1,0,1)rang<=
A base A=(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1) é formada exatamente por autovetores. Logo, para obter a lei de T basta usar linearidade e, para a matriz em A, basta notar que ela será diagonal.

Passo 2

Aplicando T aos vetores da base A, por definição de autovalor:
T((1,0,0))=-1,(1,0,0), T((0,1,0))=0,(0,1,0), T((1,0,1))=3,(1,0,1)

Passo 3

Para achar a fórmula T(x,y,z) em coordenadas padrão, escrevemos
(x,y,z)=alpha,(1,0,0)+beta,(0,1,0)+gamma,(1,0,1)
Isso gera o sistema
alpha+gamma = x, beta=y, gamma=z,
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alpha = x - z, beta = y, gamma = z

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y,z) =(x - z),T((1,0,0)) + y,T((0,1,0)) + z,T((1,0,1)) = (x - z)(-1,0,0) + y,(0,0,0) + z,(3,0,3)
Simplificando,
T(x,y,z)=(-x+4z,;0,;3z)

Passo 5

Na base A, cada coluna da matriz de T é a coordenada de T aplicado ao vetor-base correspondente. Como são autovetores, os únicos componentes são as multiplicações pelos autovalores. Assim
[T]A = -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

A lei de T em coordenadas padrão é
T(x,y,z)=(-x+4z,;0,;3z),
e a matriz de T na base A é
[T]A = -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3

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