Considere . Ache a lei de quando tem autovalores e 3 e e e ;
Em cada caso (a) e (b) acima escreva a matriz de na base . (Obs.: Sem fazer contas!)
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear cujos autovalores são e cujos eigenspaces são
A base é formada exatamente por autovetores. Logo, para obter a lei de basta usar linearidade e, para a matriz em , basta notar que ela será diagonal.
Passo 2
Aplicando aos vetores da base , por definição de autovalor:
Passo 3
Para achar a fórmula em coordenadas padrão, escrevemos
Isso gera o sistema
logo
Passo 4
Pela linearidade,
Simplificando,
Passo 5
Na base , cada coluna da matriz de é a coordenada de aplicado ao vetor-base correspondente. Como são autovetores, os únicos componentes são as multiplicações pelos autovalores. Assim