Considere o ácido diprótico \mathrm{H}_{2} \mathrm{~A} com K_{1}=1,00 \times 10^{-4} \mathrm{e} K_{2}=1,00 \times 10^{-8}. Determine o pH e as concentrações de \mathrm{H}_{2} \mathrm{~A}, \mathrm{HA}^{-}e \mathrm{A}^{2-} em cada uma das soluções seguintes:
\mathrm{NaHA} 0,100 \mathrm{M}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: ácido diprótico \mathrm{H}_2\mathrm{A} com constantes \,K_{1}=1,00\times10^{-4}\, e \,K_{2}=1,00\times10^{-8}\,.
  • Temos a solução de sal \mathrm{NaHA} com concentração inicial \,0,100\\ \mathrm{M}. Ou seja, inicialmente há \mathrm{HA}^- em concentração \,c_0=0,100\\ \mathrm{M} e desprezamos qualquer outra fonte de ácido/base além da água.
  • O enunciado pede: determinar o pH da solução e as concentrações de \mathrm{H}_2\mathrm{A}, \mathrm{HA}^- e \mathrm{A}^{2-} no equilíbrio.

Passo 2

Ideia geral e fórmula prática para o pH de um ânion anfiprótico \mathrm{HA}^-:
  • A espécie \mathrm{HA}^- pode se comportar como ácido (doando um próton, formando \mathrm{A}^{2-}) ou como base (aceitando um próton, formando \mathrm{H}_2\mathrm{A}). Chamamos isso de comportamento anfiprótico.
  • Uma fórmula muito útil (e que vamos justificar rapidamente) para soluções de sais compostos só por \mathrm{HA}^- é
\text{pH} \approx \tfrac{1}{2}\left(\mathrm{p}K_{a1}+\mathrm{p}K_{a2}\right),
onde \mathrm{p}K_{a1}=-\log_{10}K_{1} e \mathrm{p}K_{a2}=-\log_{10}K_{2}.
  • Justificativa curta: escrevendo as duas constantes
K_{1}=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{HA}^-]}{[\mathrm{H}_2\mathrm{A}]}, \qquad K_{2}=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^{2-}]}{[\mathrm{HA}^-]},
e considerando a condição de equilíbrio típica para uma solução que contém apenas \mathrm{HA}^- (a matemática completa leva à relação [\mathrm{H}^+]^2=K_{1}K_{2} sob as hipóteses padrão), obtém-se
[\mathrm{H}^+] = \sqrt{K_{1}K_{2}} \quad\Rightarrow\quad \text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+] = -\tfrac{1}{2}\log_{10}(K_{1}K_{2}) = \tfrac{1}{2}(\mathrm{p}K_{a1}+\mathrm{p}K_{a2}).
  • Vou usar essa fórmula porque é a mais direta e válida para soluções de sais anfipróticos quando não há concentrações extremamente baixas onde a autoprotólise da água dominaria.

Passo 3

Calcular \mathrm{p}K_{a1} e \mathrm{p}K_{a2} e o pH:
\mathrm{p}K_{a1}=-\log_{10}K_{1}=-\log_{10}(1,00\times10^{-4})=4,00,
\mathrm{p}K_{a2}=-\log_{10}K_{2}=-\log_{10}(1,00\times10^{-8})=8,00.
Aplicando a fórmula do passo anterior:
\text{pH}=\tfrac{1}{2}\left(4,00+8,00\right)=6,00.
Logo a concentração de íons hidrogênio é
[\mathrm{H}^+]=10^{-\text{pH}}=10^{-6,00}=1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{M}.

Passo 4

Montar as expressões de equilíbrio para obter as concentrações de cada espécie:
  • Das definições de K_{1} e K_{2} temos, em equilíbrio,
K_{1}=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{HA}^-]}{[\mathrm{H}_2\mathrm{A}]} \quad\Rightarrow\quad [\mathrm{H}_2\mathrm{A}]=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{HA}^-]}{K_{1}}.
K_{2}=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^{2-}]}{[\mathrm{HA}^-]} \quad\Rightarrow\quad [\mathrm{A}^{2-}]=\frac{K_{2}\,[\mathrm{HA}^-]}{[\mathrm{H}^+]}.
  • Balanço de massa para o sistema (o total de formas do ácido \mathrm{A} é a concentração inicial do sal \mathrm{HA}^-, isto é c_0=0,100\\ \mathrm{M}):
c_0 = [\mathrm{H}_2\mathrm{A}] + [\mathrm{HA}^-] + [\mathrm{A}^{2-}].
  • Substituindo as expressões de [\mathrm{H}_2\mathrm{A}] e [\mathrm{A}^{2-}] em função de [\mathrm{HA}^-] e de [\mathrm{H}^+]:
c_0 = \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{HA}^-]}{K_{1}} + [\mathrm{HA}^-] + \frac{K_{2}\,[\mathrm{HA}^-]}{[\mathrm{H}^+]}.
  • Isolando [\mathrm{HA}^-]:
[\mathrm{HA}^-]\left(\frac{[\mathrm{H}^+]}{K_{1}} + 1 + \frac{K_{2}}{[\mathrm{H}^+]}\right)=c_0,
ou seja
[\mathrm{HA}^-]=\frac{c_0}{\,1+\dfrac{[\mathrm{H}^+]}{K_{1}}+\dfrac{K_{2}}{[\mathrm{H}^+]}\,}.

Passo 5

Calcular numericamente [\mathrm{HA}^-], [\mathrm{H}_2\mathrm{A}] e [\mathrm{A}^{2-}] usando os valores já obtidos:
  • Dados numéricos: c_0=0,100, [\mathrm{H}^+]=1,00\times10^{-6}, K_{1}=1,00\times10^{-4}, K_{2}=1,00\times10^{-8}.
  • Calcular os termos do denominador:
\frac{[\mathrm{H}^+]}{K_{1}}=\frac{1,00\times10^{-6}}{1,00\times10^{-4}}=0,01,
\frac{K_{2}}{[\mathrm{H}^+]}=\frac{1,00\times10^{-8}}{1,00\times10^{-6}}=0,01.
  • Então
[\mathrm{HA}^-]=\frac{0,100}{1+0,01+0,01}=\frac{0,100}{1,02}=0,098039\ldots\\ \mathrm{M}\approx0,0980\\ \mathrm{M}.
  • Agora [\mathrm{H}_2\mathrm{A}] e [\mathrm{A}^{2-}]:
[\mathrm{H}_2\mathrm{A}]=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{HA}^-]}{K_{1}}=\frac{(1,00\times10^{-6})(0,098039)}{1,00\times10^{-4}}=0,00098039\ldots\\ \mathrm{M}\approx9,80\times10^{-4}\\ \mathrm{M},
[\mathrm{A}^{2-}]=\frac{K_{2}\,[\mathrm{HA}^-]}{[\mathrm{H}^+]}=\frac{(1,00\times10^{-8})(0,098039)}{1,00\times10^{-6}}=0,00098039\ldots\\ \mathrm{M}\approx9,80\times10^{-4}\\ \mathrm{M}.
  • Verificação rápida do balanço de massa:
0,098039 + 0,00098039 + 0,00098039 \approx 0,100000\\ \mathrm{M},
ou seja, fecha bem com c_0.

Passo 6

Interpretação final e observações práticas:
  • O pH ficou em 6,00, o que faz sentido: o valor é exatamente o ponto médio entre \mathrm{p}K_{a1} e \mathrm{p}K_{a2} porque \mathrm{HA}^- é uma espécie anfiprótica.
  • As concentrações mostram que a maior parte do íon permanece como \mathrm{HA}^- (≈ 0,0980\\ \mathrm{M}), enquanto \mathrm{H}_2\mathrm{A} e \mathrm{A}^{2-} aparecem em concentrações pequenas e aproximadamente iguais (≈ 9,80\times10^{-4}\\ \mathrm{M}). Isso é típico: o sal do meio pKa dá pH intermediário e produz pequenas quantidades das formas totalmente protonada e totalmente desprotonada.

Resposta

pH =6,00
[\mathrm{H}_2\mathrm{A}]=9,80\times10^{-4}\\ \mathrm{M}
[\mathrm{HA}^-]=0,0980\\ \mathrm{M}
[\mathrm{A}^{2-}]=9,80\times10^{-4}\\ \mathrm{M}

Exercícios relacionados