Considere um aerofólio cujo extradorso é descrito pela equação
y_{+}(x)=4 \epsilon \frac{x}{c}\left(1-\frac{x}{c}\right),
e o intradorso por y_{-}(x)=0. Determine uma expressão para a distribuição de intensidade da lâmina de fonte que representa essa distribuição de espessura segundo a teoria do aerofólio fino quando o aerofólio está submetido a um escoamento de velocidade U_{\infty}.

Passo 1

O enunciado dá o extradorso
y_{+}(x)=4\,\epsilon\,\frac{x}{c}\Bigl(1-\frac{x}{c}\Bigr)
e o intradorso y_{-}(x)=0. Estamos na teoria de aerofólio fino, em que a espessura é modelada por uma lâmina de fontes de intensidade \lambda(x) tal que
\lambda(x) =2\,U_{\infty}\,\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y_{+}(x)-y_{-}(x)}{2}\Bigr) =U_{\infty}\,\Bigl(\frac{dy_{+}}{dx}-\frac{dy_{-}}{dx}\Bigr).

Passo 2

Definimos a semi-espessura
h(x)=\frac{y_{+}(x)-y_{-}(x)}{2} =\frac{1}{2}\,4\,\epsilon\,\frac{x}{c}\Bigl(1-\frac{x}{c}\Bigr) =2\,\epsilon\,\frac{x}{c}\Bigl(1-\frac{x}{c}\Bigr).
Calculamos sua derivada:
\frac{dh}{dx} =2\,\epsilon\Bigl(\frac{1}{c}-\frac{2x}{c^{2}}\Bigr).

Passo 3

Substituindo em \lambda(x)=2\,U_{\infty}\,\frac{dh}{dx}, vem
\lambda(x) =2\,U_{\infty}\cdot 2\,\epsilon\Bigl(\frac{1}{c}-\frac{2x}{c^{2}}\Bigr) =4\,\epsilon\,U_{\infty}\Bigl(\frac{1}{c}-\frac{2x}{c^{2}}\Bigr) =\frac{4\,\epsilon\,U_{\infty}}{c}\Bigl(1-2\,\frac{x}{c}\Bigr).

Resposta

\boxed{\lambda(x)=\frac{4\,\epsilon\,U_{\infty}}{c}\Bigl(1-2\,\frac{x}{c}\Bigr),\quad 0\le x\le c.}

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