Questão 8. No desenvolvimento do problema do camber, precisamos obter a distribuição da intensidade da lâmina de vórtice
\gamma_{c}(\theta) tal que
\frac{1}{\pi} \int_{0}^{c} \frac{\gamma_{c}\left(\theta_{0}\right)}{2 U_{\infty}} \frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos \theta_{0}-\cos \theta} d \theta_{0}=\frac{d \eta_{c}}{d x}(\theta)=\frac{B_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \cos n \theta
Para isso, decompomos
\gamma_{c}=\gamma_{c, 1}+\gamma_{c, 2}+\gamma_{c, 3} . Mostre que, se
\begin{gathered} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{c} \frac{\gamma_{c, 1}\left(\theta_{0}\right)}{2 U_{\infty}} \frac{\operatorname{sen} \theta_{0}}{\cos \theta_{0}-\cos \theta} d \theta_{0}=\sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \cos n \theta \\\ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{c} \frac{\gamma_{c, 2}\left(\theta_{0}\right)}{2 U_{\infty}} \frac{\operatorname{sen} \theta_{0}}{\cos \theta_{0}-\cos \theta} d \theta_{0}=\frac{B_{0}}{2} \\\ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{c} \frac{\gamma_{c, 3}\left(\theta_{0}\right)}{2 U_{\infty}} \frac{\operatorname{sen} \theta_{0}}{\cos \theta_{0}-\cos \theta} d \theta_{0}=0 \end{gathered}
(a)
\gamma_{c, 1}(\theta)=-2 U_{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \operatorname{senn} \theta .
Dica: Reescreva
\cos n \theta do lado direito em termos de uma das duas integrais mostradas na sala e compare os integrandos dos dois lados.
(b)
\gamma_{c, 2}(\theta)=U_{\infty} B_{0}(\cos \theta / \operatorname{sen} \theta) .
Dica: Reescreva o lado direito observando que
0,5 B_{0}=0,5 B_{0} \cdot 1 e escreva 1 em termos de uma das duas integrais mostradas na sala e compare os integrandos dos dois lados.
(c)
\gamma_{c, 3}(\theta)=2 U_{\infty} K / \operatorname{sen} \theta , sendo
K uma constante arbitrária.
Dica: Reescreva o lado direito observando que
0=0 \cdot K e escreva 0 em termos de uma das duas integrais mostradas na sala e compare os integrandos dos dois lados.
(d) Para que a
\gamma_{c}(\theta=0)=\gamma_{c, 1}(\theta=0)+\gamma_{c, 2}(\theta=0)+\gamma_{c, 3}(\theta=0)=0, K=-0,5 B_{0} .