Questão 8. No desenvolvimento do problema do camber, precisamos obter a distribuição da intensidade da lâmina de vórtice
tal que
Para isso, decompomos
. Mostre que, se
(a)
.
Dica: Reescreva
do lado direito em termos de uma das duas integrais mostradas na sala e compare os integrandos dos dois lados.
(b)
.
Dica: Reescreva o lado direito observando que
e escreva 1 em termos de uma das duas integrais mostradas na sala e compare os integrandos dos dois lados.
(c)
, sendo
uma constante arbitrária.
Dica: Reescreva o lado direito observando que
e escreva 0 em termos de uma das duas integrais mostradas na sala e compare os integrandos dos dois lados.
(d) Para que a
.
(b)
(c)
(d) Para que a
Passo 1
O enunciado pede para decompor
de modo que cada parcela satisfaça, via o núcleo
,
as igualdades
as igualdades
Para isso usamos as identidades (vistase em sala):
A partir daí comparamos integrandos para determinar cada
.
Passo 2
Queremos
Pela identidade (I) temos
Logo
Comparando com o lado direito, identificamos
Passo 3
Queremos
Escrevemos
e usamos (III):
Assim
e, comparando,
Passo 4
Queremos
Mas pela identidade (II)
.
Basta ter constante, o que dá
Basta ter
Passo 5
Para impor
usamos
.
Como e
no limite
, somam-se os coeficientes de
:
Como
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)