A parede externa de uma casa é composta por uma camada de 20 cm de espessura de tijolo comum e uma camada de 5 cm de gesso. Qual a taxa de transferência de calor por unidade de área, se a face externa da parede se encontra à 35^{\circ} \mathrm{C} e a face interna à 20^{\circ} \mathrm{C} ? Qual a espessura de isolamento de lã de rocha ( \mathrm{k}=0,065 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) que deve ser adicionada à parede, para se reduzir a transferência de calor em 80 \% ?

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados do enunciado (valores diretos):
  • Espessura da camada de tijolo: \;0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da camada de gesso: \;0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da face externa: \;35^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da face interna: \;20^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica da lã de rocha (dada): \;k_{\text{lã}}=0{,}065\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ã.
Observação importante (como o enunciado não forneceu as condutividades do tijolo e do gesso): vou usar valores típicos de referência para essas materiais, que são comumente usados em exercícios:
  • Condutividade térmica do tijolo comum: \;k_{\text{tijolo}}=0{,}6\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Condutividade térmica do gesso: \;k_{\text{gesso}}=0{,}16\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
O que se pede:
  1. A taxa de transferência de calor por unidade de área (fluxo de calor por m²) através da parede composta (tijolo + gesso), com as temperaturas dadas.
  2. A espessura de lã de rocha necessária para reduzir essa transferência de calor em 80\% (ou seja, para que o fluxo novo seja 20\% do fluxo original).

Passo 2

Conceito que vamos usar (a teoria mastigada): para condução unidimensional estacionária em camadas planas em série, a lei de Fourier dá o fluxo de calor por unidade de área como a diferença de temperatura dividida pela resistência térmica total. Explico passo a passo.
  • Para uma camada homogênea de espessura \;L e condutividade \;k, a resistência térmica por unidade de área é
R=\frac{L}{k}.
Aqui R tem unidade \mathrm{m^2\cdot K/W}. Intuição: quanto maior a espessura L, maior a resistência; quanto maior k, menor a resistência.
  • Para várias camadas em série (como tijolo + gesso + isolamento), as resistências se somam:
R_{\text{total}}=\sum_{i}\frac{L_i}{k_i}.
  • O fluxo de calor por unidade de área (também chamado de densidade de fluxo), que vou chamar de \;q, é
q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde \Delta T é a diferença de temperatura entre as faces (aqui \;35-20=15\\ \mathrm{K}; lembre-se que diferenças de temperatura em Celsius e Kelvin são numericamente iguais).

Passo 3

Calcular as resistências de cada camada com os valores numéricos que listamos.
  • Para o tijolo:
R_{\text{tijolo}}=\frac{L_{\text{tijolo}}}{k_{\text{tijolo}}}=\frac{0{,}20}{0{,}6}.
Faço a divisão:
R_{\text{tijolo}}=\frac{0{,}20}{0{,}6}=0{,}333333\ldots\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
  • Para o gesso:
R_{\text{gesso}}=\frac{L_{\text{gesso}}}{k_{\text{gesso}}}=\frac{0{,}05}{0{,}16}.
Faço a divisão:
R_{\text{gesso}}=0{,}3125\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
  • Resistência total sem isolamento:
R_0=R_{\text{tijolo}}+R_{\text{gesso}}=0{,}333333\ldots+0{,}3125=0{,}645833\ldots\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.

Passo 4

Calcular o fluxo de calor inicial usando \Delta T=35-20=15\\ \mathrm{K}.
q_0=\frac{\Delta T}{R_0}=\frac{15}{0{,}645833\ldots}.
Faço a divisão:
q_0\approx 23{,}2558\\ \mathrm{W/m^2}.
Arredondando de forma prática para a prova:
q_0\approx 23{,}26\\ \mathrm{W/m^2}.
Explicação rápida de interpretação: isso significa que, por cada metro quadrado dessa parede, estão passando aproximadamente \;23{,}26\\ \mathrm{W} do lado quente para o lado frio em regime estacionário.

Passo 5

Agora achar a espessura de lã de rocha que reduz o fluxo em 80\%. Interpretando: reduzir em 80\% significa que o novo fluxo deve ser 20\% do original:
q_{\text{novo}}=0{,}2\,q_0.
Como q=\Delta T/R, para reduzir q para 0{,}2 vezes o original precisamos que a resistência total aumente de modo que
R_{\text{novo}}=\frac{1}{0{,}2}R_0=5\,R_0.
Ou seja, a nova resistência deve ser cinco vezes a original. A resistência adicional que a lã precisa fornecer é
R_{\text{lã}}=R_{\text{novo}}-R_0=5R_0-R_0=4R_0.ã
Mas R_{\text{lã}}=\dfrac{L_{\text{lã}}}{k_{\text{lã}}}ããã. Então
\frac{L_{\text{lã}}}{k_{\text{lã}}}=4R_0 \quad\Rightarrow\quad L_{\text{lã}}=4R_0\,k_{\text{lã}}.ãããã

Passo 6

Substituo os números para achar L_{\text{lã}}ã.
Temos R_0=0{,}645833\ldots e k_{\text{lã}}=0{,}065ã.
L_{\text{lã}}=4\cdot 0{,}645833\ldots \cdot 0{,}065.ã
Faço contas passo a passo:
4\cdot 0{,}645833\ldots =2{,}583333\ldots
L_{\text{lã}}=2{,}583333\ldots \times 0{,}065 =0{,}16791666\ldots\\ \mathrm{m}.ã
Arredondando:
L_{\text{lã}}\approx 0{,}168\\ \mathrm{m}=16{,}8\\ \mathrm{cm}.ã

Passo 7

Verificação rápida (checar que faz sentido): calculo a nova resistência do isolamento e o novo fluxo.
  • Resistência da lã:
R_{\text{lã}}=\frac{0{,}16791666\ldots}{0{,}065}=2{,}583333\ldots\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.ã
  • Nova resistência total:
R_{\text{novo}}=R_0+R_{\text{lã}}=0{,}645833\ldots+2{,}583333\ldots=3{,}229166\ldotsã
  • Novo fluxo:
q_{\text{novo}}=\frac{15}{3{,}229166\ldots}\approx 4{,}65116\\ \mathrm{W/m^2},
que é exatamente 0{,}2 vezes q_0 (pois 4{,}65116\approx 0{,}2\times 23{,}2558), logo a espessura encontrada está correta.

Resposta

q_0\approx 23{,}26\\ \mathrm{W/m^2}\n L_{\text{lã}}\approx 0{,}168\\ \mathrm{m}ã

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