A parede externa de uma casa é composta por uma camada de 20 cm de espessura de tijolo comum e uma camada de 5 cm de gesso. Qual a taxa de transferência de calor por unidade de área, se a face externa da parede se encontra à 35^{\circ} \mathrm{C} e a face interna à 20^{\circ} \mathrm{C} ? Qual a espessura de isolamento de lã de rocha ( \mathrm{k}=0,065 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) que deve ser adicionada à parede, para se reduzir a transferência de calor em 80 \% ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A taxa de transferência de calor por unidade de área (fluxo de calor por m²) através da parede composta por uma camada de tijolo e uma camada de gesso, sabendo que a face externa está a 35^\circ\mathrm{C} e a face interna a 20^\circ\mathrm{C}.
  2. A espessura de isolamento de lã de rocha ( k=0{,}065\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}) que deve ser adicionada para reduzir a transferência de calor em 80\%.
Informações fornecidas no enunciado:
\begin{aligned} &\text{Espessura do tijolo: } L_{\text{tij}}=0{,}20\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Espessura do gesso: } L_{\text{gess}}=0{,}05\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Temperatura externa: } T_{\text{ext}}=35^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura interna: } T_{\text{int}}=20^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Condutividade térmica da lã de rocha: } k_{\text{isl}}=0{,}065\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. \end{aligned}éã
Observação importante (não perguntei nada a você): o enunciado não deu explicitamente as condutividades térmicas do tijolo e do gesso. Para obter um resultado numérico eu vou assumir valores típicos de referência (vou explicitar essas suposições no passo seguinte). Se preferir que eu faça só em forma simbólica, eu podia deixar os resultados em função de k_{\text{tij}} e k_{\text{gess}}, mas aqui vou apresentar cálculo numérico com valores típicos.

Passo 2

Princípio físico e fórmula chave (aulas rápidas e práticas):
  • Para condução unidimensional em regime estacionário através de camadas planas em série, a diferença de temperatura total é igual ao fluxo de calor por unidade de área multiplicado pela soma das resistências térmicas de cada camada.
  • A lei de Fourier (forma simples para uma camada homogênea) diz que o fluxo de calor por unidade de área q'' é:
q'' = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde \Delta T = T_{\text{ext}} - T_{\text{int}} e cada resistência de condução de uma camada é
R_i = \frac{L_i}{k_i},
com L_i a espessura (m) e k_i a condutividade térmica (W/(m·K)). As resistências em série somam:
R_{\text{total}}=\sum_i R_i=\sum_i \frac{L_i}{k_i}.
Unidades: R_i tem dimensão \mathrm{K\;m^2/W}. Assim q'' tem unidades \mathrm{W/m^2}.
Pequeno exemplo conceitual: se você tiver só uma placa de espessura L e condutividade k, então \;q''=k\,(T_1-T_2)/L, que reorganizado dá T_1-T_2=(L/k)q'', daí surge a identificação R=L/k.

Passo 3

Fórmula específica para a parede dada (sem ainda inserir números):
q''=\frac{T_{\text{ext}}-T_{\text{int}}}{\dfrac{L_{\text{tij}}}{k_{\text{tij}}}+\dfrac{L_{\text{gess}}}{k_{\text{gess}}}}.
Para a segunda parte (isolamento que reduz o fluxo em 80\%): reduzir em 80\% significa que o novo fluxo q''_{\text{novo}}=0{,}2\,q''_{\text{antigo}}. Chamando R_{\text{antigo}}=\dfrac{L_{\text{tij}}}{k_{\text{tij}}}+\dfrac{L_{\text{gess}}}{k_{\text{gess}}} e R_{\text{isl}}=\dfrac{L_{\text{isl}}}{k_{\text{isl}}}, temos
q''_{\text{novo}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{antigo}}+R_{\text{isl}}}=0{,}2\cdot\frac{\Delta T}{R_{\text{antigo}}}.
Cancelando \Delta T obtemos
\frac{1}{R_{\text{antigo}}+R_{\text{isl}}}= \frac{0{,}2}{R_{\text{antigo}}}\quad\Rightarrow\quad R_{\text{antigo}}+R_{\text{isl}}=5\,R_{\text{antigo}}.
Logo
R_{\text{isl}}=4\,R_{\text{antigo}}\quad\Rightarrow\quad \frac{L_{\text{isl}}}{k_{\text{isl}}}=4\,R_{\text{antigo}}.
Isolando L_{\text{isl}}:
L_{\text{isl}}=4\,R_{\text{antigo}}\,k_{\text{isl}}.
Esta expressão é bem prática: multiplica-se a resistência térmica atual por 4 e converte para espessura usando k_{\text{isl}}.

Passo 4

Escolha de valores típicos (assunção explícita):
Como o enunciado não informou k_{\text{tij}} nem k_{\text{gess}}, vou usar valores típicos de referência (isso é comum em exercícios):
k_{\text{tij}}=0{,}72\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\quad\text{(tijolo comum, valor típico)}í
k_{\text{gess}}=0{,}17\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\quad\text{(gesso/estuque, valor típico)}í
Se você tiver outros valores reais do material da sua parede, dá pra substituir e recalcular fácil — eu posso refazer se você quiser.

Passo 5

Calcular as resistências de cada camada (mostrando as contas passo a passo):
R_{\text{tij}}=\frac{L_{\text{tij}}}{k_{\text{tij}}}=\frac{0{,}20}{0{,}72} \\ \mathrm{K\;m^2/W}.
Vamos calcular:
R_{\text{tij}}=\frac{0{,}20}{0{,}72}\approx 0{,}27778\\ \mathrm{K\;m^2/W}.
Agora a resistência do gesso:
R_{\text{gess}}=\frac{L_{\text{gess}}}{k_{\text{gess}}}=\frac{0{,}05}{0{,}17}\approx 0{,}29412\\ \mathrm{K\;m^2/W}.
Soma das resistências (resistência total sem isolamento):
R_{\text{antigo}}=R_{\text{tij}}+R_{\text{gess}}\approx 0{,}27778+0{,}29412=0{,}57190\\ \mathrm{K\;m^2/W}.

Passo 6

Calcular o fluxo de calor por unidade de área q'' usando \Delta T=35-20=15\\ \mathrm{K}:
q''=\frac{\Delta T}{R_{\text{antigo}}}=\frac{15}{0{,}57190}\\ \mathrm{W/m^2}.
Fazendo a conta:
q''\approx 26{,}23\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação rápida: isso significa que, por cada metro quadrado dessa parede, cerca de 26{,}2\\ \mathrm{W} estariam sendo transferidos por condução nas condições dadas (faces a 35^\circ\mathrm{C} e 20^\circ\mathrm{C}).

Passo 7

Agora determinamos a espessura de lã de rocha necessária para reduzir o fluxo em 80\%.
Já obtivemos que precisamos de
R_{\text{isl}}=4\,R_{\text{antigo}}=4\times 0{,}57190=2{,}2876\\ \mathrm{K\;m^2/W}.
Usando R_{\text{isl}}=\dfrac{L_{\text{isl}}}{k_{\text{isl}}} e k_{\text{isl}}=0{,}065\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}:
L_{\text{isl}}=R_{\text{isl}}\;k_{\text{isl}}=2{,}2876\times 0{,}065\\ \mathrm{m}.
Calculando:
L_{\text{isl}}\approx 0{,}1487\\ \mathrm{m}\approx 14{,}87\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Verificações rápidas (sanity check):
  • Com essa espessura, a nova resistência total seria R_{\text{novo}}=R_{\text{antigo}}+R_{\text{isl}}=5R_{\text{antigo}}, logo o fluxo seria \dfrac{15}{5R_{\text{antigo}}}=\dfrac{1}{5}\cdot 26{,}23\approx 5{,}246\\ \mathrm{W/m^2}, que corresponde a uma redução de 80\% em relação ao valor inicial — portanto consistente.
  • Resultado razoável para isolamento de lã de rocha: cerca de 15\\ \mathrm{cm} é um valor prático e comum em projetos.

Resposta

q''\approx 26{,}23\\ \mathrm{W/m^2}
L_{\text{isl}}\approx 0{,}1487\\ \mathrm{m}\\ ( \approx 14{,}9\\ \mathrm{cm})

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