Considere um afastamento radial com velocidade relativa u entre uma fonte de ondas eletromagnéticas e um observador. Considere u ll c. Fazendo um desenvolvimento em série da relação deduzida no problema anterior e desprezando os termos de ordem superior a beta, deduza uma fórmula aproximada para a determinação da frequência f medida pelo observador em função da frequência própria f0 da fonte.

Passo 1

O enunciado diz que uma fonte de ondas eletromagnéticas se afasta de um observador com velocidade relativa u tal que ull c. Queremos, a partir da fórmula exata do problema anterior, obter uma expressão aproximada para a frequência f medida pelo observador em função da frequência própria f0, desprezando termos de ordem superior em beta, onde beta = u/c.

Passo 2

A relação exata para o efeito Doppler relativístico em afastamento é
f = f0,raiz1 - beta1 + beta,
com beta = dfracuc.

Passo 3

Para ull c temos betall1. Aplicamos o desenvolvimento binomial para potências não inteiras:
(1 + x)^napprox 1 + n,x quando |x|ll1
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(1 - beta)^1/2approx 1 - tfracbeta2, (1 + beta)^-1/2approx 1 - tfracbeta2

Passo 4

Multiplicando essas duas aproximações obtemos
(1 - beta)^1/2,(1 + beta)^-1/2 approx l(1 - tfracbeta2r),l(1 - tfracbeta2r) = 1 - beta + O(beta^2)
Desprezando O(beta^2), fica
raiz1 - beta1 + betaapprox 1 - beta

Passo 5

Substituindo de volta em f = f0raiztfrac1 - beta1 + beta, conclui-se
f approx f0,(1 - beta) = f0,l(1 - ucr)

Resposta

f approx f0,l(1 - ucr)

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