Considere um afastamento radial com velocidade relativa
entre uma fonte de ondas eletromagnéticas e um observador. Considere
. Fazendo um desenvolvimento em série da relação deduzida no problema anterior e desprezando os termos de ordem superior a
, deduza uma fórmula aproximada para a determinação da frequência
medida pelo observador em função da frequência própria
da fonte.
Passo 1
O enunciado diz que uma fonte de ondas eletromagnéticas se afasta de um observador com velocidade relativa
tal que
. Queremos, a partir da fórmula exata do problema anterior, obter uma expressão aproximada para a frequência
medida pelo observador em função da frequência própria
, desprezando termos de ordem superior em
, onde
.
Passo 2
A relação exata para o efeito Doppler relativístico em afastamento é
com
.
Passo 3
Para
temos
. Aplicamos o desenvolvimento binomial para potências não inteiras:
Logo
Passo 4
Multiplicando essas duas aproximações obtemos
Desprezando
, fica
Passo 5
Substituindo de volta em
, conclui-se