Considere um afastamento radial com velocidade relativa u entre uma fonte de ondas eletromagnéticas e um observador. Deduz a fórmula apropriada para a determinação da frequência f medida pelo observador em função da frequência própria f0 da fonte.

Passo 1

O enunciado pede a fórmula do efeito Doppler relativístico para ondas eletromagnéticas quando há afastamento radial com velocidade relativa u entre fonte e observador. Esse conteúdo envolve usar as transformações de Lorentz para relacionar intervalos de tempo e posições em dois referenciais inerciais e, em seguida, conectar período e frequência.

Passo 2

No referencial da fonte S', dois pulsos sucessivos são emitidos em
(t'1,x'1)=(0,0) e (t'2,x'2)=(T0,0),
onde T0 = 1/f0 é o período próprio da fonte. Queremos achar o intervalo de tempo entre as chegadas desses pulsos no referencial do observador S.

Passo 3

Aplicando a transformação de Lorentz para o tempo
t = gammal(t' + uc^2x'r),
com gamma = 1/raiz1-beta^2 e beta = u/c. Como x'1=x'2=0, obtemos
t1 = gamma,t'1 = 0, t2 = gamma,t'2 = gamma,T0

Passo 4

A posição de emissão no referencial do observador é dada por
x = gammal(x' + u,t'r)
Como x'1=x'2=0, temos
x1 = 0, x2 = gamma,u,T0

Passo 5

O tempo de chegada de cada pulso ao observador, contando o tempo de emissão mais a propagação, é
tcheg,i = ti + xic
Logo, o intervalo entre as chegadas é
De<a tobs = l(t2 + x2/cr) - l(t1 + x1/cr) = gamma,T0,(1 + beta)

Passo 6

O período observado é T = De<a tobs, e a frequência observada f = 1/T. Logo
f = 1gamma,T0,(1 + beta) = f0,1gamma,(1 + beta)
Como gamma = 1/raiz1-beta^2, segue
f = f0 raiz1-beta1+beta

Resposta

f = f0 raiz1 - uc1 + uc,

Exercícios relacionados