Um corpo de massa m se encontra num plano sob a ação de uma força que depende da posição da forma
F(x, y)=k(y^3 i+y x^2 j)
, sendo k=1 / 3 N / m^3 e as coordenadas medidas em metro. Calcule o trabalho em Joule para levar a partícula desde a origem 0 até o ponto de coordenadas (2,1) através do caminho retilíneo unindo ambos pontos.
Escolha uma opção:
a. 3 / 2
b. 2
c. 1 / 2
d. 1 / 3
e. Nenhuma das alternativas.

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
F(x,y)=kl(y^3,imath + y,x^2,jmathr),
com k=tfrac13,N/ m^3, e pede o trabalho
para levar a partícula de (0,0) até (2,1) ao longo do segmento de reta que os une.
Conteúdo: integral de linha de um campo vetorial não-conservativo. Vamos parametrizar o caminho e calcular
W=integralCFcdot dr

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta por
r(t)=(x(t),y(t))=(2t,;t), tin[0,1]
Então
dr=(dx,dy)=(2,dt,,dt)

Passo 3

Em t, temos x=2t, y=t, logo
F(r(t)) = tfrac13l(t^3,hatimath + t,(2t)^2,hatjmathr) = tfrac13l(t^3,hatimath +4t^3,hatjmathr)
O produto escalar é
Fcdot dr =tfrac13l(t^3cdot2 + 4t^3cdot1r)dt =tfrac13,(2t^3+4t^3),dt =tfrac16cdot6t^3,dt =2t^3,dt

Passo 4

Integramos de t=0 até t=1:
W=integral0^12t^3,dt =2cdott^44|0^1 =12,J

Resposta

c;tfrac12

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