Considere um afastamento radial com velocidade relativa u entre uma fonte de ondas eletromagnéticas e um observador. Deduz a fórmula apropriada para a determinação do comprimento de onda lambda medido pelo observador em função do comprimento de onda próprio lambda0 da fonte.

Passo 1

O enunciado pede a relação entre o comprimento de onda observado lambda e o comprimento de onda próprio da fonte lambda0 quando há um afastamento radial a uma velocidade relativa u. O conteúdo aqui é o efeito Doppler relativístico para ondas eletromagnéticas, e vamos usar transformações de tempo (dilatação) e a relação entre período e comprimento de onda.

Passo 2

Definimos
beta = uc,
onde c é a velocidade da luz. Na fonte em seu referencial próprio, a frequência e o período são
f0 = clambda0 e T0 = 1f0 = lambda0c

Passo 3

Como a fonte e o observador se afastam, cada frente de onda demora mais para atingir o observador. Levando em conta a dilatação do tempo no referencial do observador (fator gamma) e o transporte da fonte, o período observado T fica aumentado tanto pela dilatação como pelo afastamento. Logo
T ;=;gamma,l(T0 + beta,T0r) ;=;gamma,(1+beta),T0,
em que
gamma = 1raiz1-beta^2

Passo 4

O comprimento de onda observado é lambda = c,T. Substituindo T e T0=lambda0/c obtemos
lambda = c;gamma,(1+beta);lambda0c =lambda0,gamma,(1+beta)

Passo 5

Basta agora simplificar gamma,(1+beta):
gamma,(1+beta) =1+betaraiz1-beta^2 =raiz(1+beta)^21-beta^2 =raiz1+beta1-beta
Portanto
lambda =lambda0,raiz1+beta1-beta =lambda0,raiz1+u/c1-u/c

Resposta

boxedlambda = lambda0,raiz1+u/c1-u/c

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