Considere um afastamento radial com velocidade relativa
entre uma fonte de ondas eletromagnéticas e um observador. Deduz a fórmula apropriada para a determinação do comprimento de onda
medido pelo observador em função do comprimento de onda próprio
da fonte.
Passo 1
O enunciado pede a relação entre o comprimento de onda observado
e o comprimento de onda próprio da fonte
quando há um afastamento radial a uma velocidade relativa
. O conteúdo aqui é o efeito Doppler relativístico para ondas eletromagnéticas, e vamos usar transformações de tempo (dilatação) e a relação entre período e comprimento de onda.
Passo 2
Definimos
onde
é a velocidade da luz. Na fonte em seu referencial próprio, a frequência e o período são
Passo 3
Como a fonte e o observador se afastam, cada frente de onda demora mais para atingir o observador. Levando em conta a dilatação do tempo no referencial do observador (fator
) e o transporte da fonte, o período observado
fica aumentado tanto pela dilatação como pelo afastamento. Logo
em que
Passo 4
O comprimento de onda observado é
. Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Basta agora simplificar
:
Portanto