Considere um afastamento radial com velocidade relativa u entre uma fonte de ondas eletromagnéticas e um observador. Considere u ll c. Fazendo um desenvolvimento em série da relação deduzida no problema anterior e desprezando os termos de ordem superior a beta, deduza uma fórmula aproximada para a determinação do comprimento de onda lambda medido pelo observador em função do comprimento de onda próprio lambda0 da fonte.

Passo 1

O enunciado descreve um afastamento radial com velocidade relativa u entre a fonte e o observador, com ull c. O objetivo é obter, por efeito Doppler relativístico e para ull c, uma fórmula aproximada para o comprimento de onda lambda observado em função do comprimento de onda próprio lambda0. Para isso, usaremos a relação exata de Doppler e um desenvolvimento em série de ordem beta.

Passo 2

A relação exata entre lambda e lambda0 deduzida anteriormente é
lambda = lambda0 raiz1+beta1-beta,
onde definimos beta = uc.

Passo 3

Para betall 1, aplicamos a expansão binomial até a ordem beta. Primeiro,
raiz1+beta approx 1 + beta2,
e em seguida,
1raiz1-beta approx 1 + beta2

Passo 4

Multiplicando as duas expansões, obtemos
raiz1+beta1-beta approx l(1 + beta2r)l(1 + beta2r) = 1 + beta + O(beta^2)
Logo,
lambda approx lambda0(1+beta) = lambda0l(1+ucr)

Resposta

lambda approx lambda0l(1 + tfracucr)

Exercícios relacionados