Considere um afastamento radial com velocidade relativa
entre uma fonte de ondas eletromagnéticas e um observador. Considere
. Fazendo um desenvolvimento em série da relação deduzida no problema anterior e desprezando os termos de ordem superior a
, deduza uma fórmula aproximada para a determinação do comprimento de onda
medido pelo observador em função do comprimento de onda próprio
da fonte.
Passo 1
O enunciado descreve um afastamento radial com velocidade relativa
entre a fonte e o observador, com
. O objetivo é obter, por efeito Doppler relativístico e para
, uma fórmula aproximada para o comprimento de onda
observado em função do comprimento de onda próprio
. Para isso, usaremos a relação exata de Doppler e um desenvolvimento em série de ordem
.
Passo 2
A relação exata entre
e
deduzida anteriormente é
onde definimos
.
Passo 3
Para
, aplicamos a expansão binomial até a ordem
. Primeiro,
e em seguida,
Passo 4
Multiplicando as duas expansões, obtemos
Logo,