Considere as afirmações:
I) Se(A+2 B) e (A+3 B) sāo simétricas entāo A é simétrica.
II) Sc(A-B) e (A+B) são anti-simétricas entāo A é anti-simétrica.
III) Se A é anti-simétrica entāo A^2 também o é.
Quantas das afirmaçōes acima sāo verdadeiras? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três afirmações sobre matrizes simétricas e anti-simétricas. Nosso objetivo é descobrir quais dessas afirmações são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e anti-simétricas e como elas se comportam quando combinamos as matrizes de diferentes maneiras.

Passo 2

Entendendo Matrizes Simétricas e Anti-simétricas
  • Matriz Simétrica: Uma matriz $ A $ é simétrica se ela for igual à sua transposta. Ou seja, $ A^T = A $.
  • Matriz Anti-simétrica: Uma matriz $ A $ é anti-simétrica se for igual ao negativo da sua transposta. Ou seja, $ A^T = -A $.
Essas propriedades são importantes porque determinam como as matrizes se comportam quando são somadas, subtraídas ou multiplicadas.

Passo 3

Analisando a Primeira Afirmação (I)
A afirmação I diz: Se $ (A + 2B) $ e $ (A + 3B) $ são simétricas, então $ A $ é simétrica.
Vamos verificar:
  1. Se $ A + 2B $ é simétrica:
    (A + 2B)
    Aplicando a transposta:
    (A + 3B)
  2. Se $ A + 3B $ é simétrica:
    A
    Aplicando a transposta:
    A + 2B
Agora, subtrairemos a primeira equação da segunda para eliminar $ A $:
(A + 2B)^T = A + 2B
Simplificando:
A^T + 2B^T = A + 2B
Isso nos mostra que $ B $ é simétrica.
Agora, voltando à primeira equação:
A + 3B
Como $ B^T = B $, temos:
(A + 3B)^T = A + 3B
Cancelando $ 2B $ dos dois lados:
A^T + 3B^T = A + 3B
Conclusão: $ A $ é simétrica. A afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Analisando a Segunda Afirmação (II)
A afirmação II diz: Se $ (A - B) $ e $ (A + B) $ são anti-simétricas, então $ A $ é anti-simétrica.
Vamos verificar:
  1. Se $ A - B $ é anti-simétrica:
    (A - B)
    Aplicando a transposta:
    (A + B)
  2. Se $ A + B $ é anti-simétrica:
    A
    Aplicando a transposta:
    A - B
Agora, vamos somar as duas equações:
(A - B)^T = -(A - B)
Simplificando:
A^T - B^T = -A + B
Dividindo ambos os lados por 2:
A + B
Conclusão: $ A $ é anti-simétrica. A afirmação II é verdadeira.

Passo 5

Analisando a Terceira Afirmação (III)
A afirmação III diz: Se $ A $ é anti-simétrica, então $ A^2 $ também é anti-simétrica.
Vamos verificar:
  1. Sabemos que $ A $ é anti-simétrica:
    A
  2. Calculando a transposta de $ A^2 $:
    A^2
  3. Comparando com a definição de anti-simétrica:
    A é
    Para ser anti-simétrica, precisaríamos que $ (A2)T = -A^2 $, o que não é o caso aqui.
Conclusão: $ A^2 $ é simétrica, não anti-simétrica. A afirmação III é falsa.

Resposta

Das três afirmações apresentadas, apenas as afirmações I e II são verdadeiras.

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