Considere as afirmações:
I)
e
sāo simétricas entāo
é simétrica.
II)
e
são anti-simétricas entāo
é anti-simétrica.
III) Se
é anti-simétrica entāo
também o é.
Quantas das afirmaçōes acima sāo verdadeiras? Justifique!
I)
II)
III) Se
Quantas das afirmaçōes acima sāo verdadeiras? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três afirmações sobre matrizes simétricas e anti-simétricas. Nosso objetivo é descobrir quais dessas afirmações são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e anti-simétricas e como elas se comportam quando combinamos as matrizes de diferentes maneiras.
Passo 2
Entendendo Matrizes Simétricas e Anti-simétricas
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Matriz Simétrica: Uma matriz $ A $ é simétrica se ela for igual à sua transposta. Ou seja, $ A^T = A $.
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Matriz Anti-simétrica: Uma matriz $ A $ é anti-simétrica se for igual ao negativo da sua transposta. Ou seja, $ A^T = -A $.
Essas propriedades são importantes porque determinam como as matrizes se comportam quando são somadas, subtraídas ou multiplicadas.
Passo 3
Analisando a Primeira Afirmação (I)
A afirmação I diz: Se $ (A + 2B) $ e $ (A + 3B) $ são simétricas, então $ A $ é simétrica.
Vamos verificar:
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Se $ A + 2B $ é simétrica:Aplicando a transposta:
-
Se $ A + 3B $ é simétrica:Aplicando a transposta:
Agora, subtrairemos a primeira equação da segunda para eliminar $ A $:
Simplificando:
Isso nos mostra que $ B $ é simétrica.
Agora, voltando à primeira equação:
Como $ B^T = B $, temos:
Cancelando $ 2B $ dos dois lados:
Conclusão: $ A $ é simétrica. A afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Analisando a Segunda Afirmação (II)
A afirmação II diz: Se $ (A - B) $ e $ (A + B) $ são anti-simétricas, então $ A $ é anti-simétrica.
Vamos verificar:
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Se $ A - B $ é anti-simétrica:Aplicando a transposta:
-
Se $ A + B $ é anti-simétrica:Aplicando a transposta:
Agora, vamos somar as duas equações:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2:
Conclusão: $ A $ é anti-simétrica. A afirmação II é verdadeira.
Passo 5
Analisando a Terceira Afirmação (III)
A afirmação III diz: Se $ A $ é anti-simétrica, então $ A^2 $ também é anti-simétrica.
Vamos verificar:
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Sabemos que $ A $ é anti-simétrica:
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Calculando a transposta de $ A^2 $:
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Comparando com a definição de anti-simétrica:Para ser anti-simétrica, precisaríamos que $ (A2)T = -A^2 $, o que não é o caso aqui.
Conclusão: $ A^2 $ é simétrica, não anti-simétrica. A afirmação III é falsa.
Resposta
Das três afirmações apresentadas, apenas as afirmações I e II são verdadeiras.