PRIMITIVAS
Encontre a primitiva F de f(x)=x-1x tal que F(e)=1.

Passo 1

Estamos com a função f(x)=x−1/x e queremos encontrar sua primitiva F(x) sabendo que F(e)=1. O conteúdo é cálculo de integrais indefinidas, e vamos usar a regra do poder (para xⁿ) e a integral de 1/x que gera ln|x|.

Passo 2

Vamos integrar f(x) termo a termo. A integral de x é dada pela regra do poder:
integral x,dx=x^22
E a integral de −1/x é a integral de 1/x com sinal negativo:
integrall(-tfrac1xr)dx=-integral1xdx=-lnlvert xrvert
Logo, uma primitiva geral é
F(x)=x^22-lnlvert xrvert+C

Passo 3

Para determinar a constante C, usamos a condição F(e)=1. Substituindo x=e temos
F(e)=e^22-ln e+C=e^22-1+C
E queremos que isso seja igual a 1. Então
e^22-1+C=1
Resolvendo para C:
C=1-e^22+1=2-e^22

Passo 4

Substituindo C de volta em F(x), obtemos a primitiva que satisfaz F(e)=1:

Resposta

F(x)=\frac{x^2}{2}-\ln\lvert x\rvert+2-\frac{e^2}{2}

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