PRIMITIVAS
Encontre a primitiva
de
tal que
.
Encontre a primitiva
Passo 1
Estamos com a função f(x)=x−1/x e queremos encontrar sua primitiva F(x) sabendo que F(e)=1. O conteúdo é cálculo de integrais indefinidas, e vamos usar a regra do poder (para xⁿ) e a integral de 1/x que gera ln|x|.
Passo 2
Vamos integrar f(x) termo a termo. A integral de x é dada pela regra do poder:
E a integral de −1/x é a integral de 1/x com sinal negativo:
Logo, uma primitiva geral é
Passo 3
Para determinar a constante C, usamos a condição F(e)=1. Substituindo x=e temos
E queremos que isso seja igual a 1. Então
Resolvendo para C:
Passo 4
Substituindo C de volta em F(x), obtemos a primitiva que satisfaz F(e)=1:
Resposta
F(x)=\frac{x^2}{2}-\ln\lvert x\rvert+2-\frac{e^2}{2}