Encontre, caso exista, a inversa da matriz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz $ N = N = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e matriz adjunta. Vamos passo a passo, sem pular nada!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz $ N $ é inversível. Isso depende do determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa. Vamos calcular o determinante de $ N $.

Passo 3

O determinante de uma matriz 3x3 $ a & b & c d & e & f g & h & i $ é calculado assim:
det(N) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(N) = 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1) - 1(1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0(1 cdot 1 - 0 cdot 0)
det(N) = 1(0 - 1) - 1(1 - 0) + 0(1 - 0) = -1 -1 + 0 = -2
Como o determinante é -2 (diferente de zero), a matriz $ N $ tem inversa.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de $ N $. A adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Primeiro, precisamos calcular os cofatores de cada elemento de $ N $.

Passo 5

Para cada elemento $ N_{ij} $, o cofator $ C_{ij} $ é dado por:
Nij
onde $ M_{ij} $ é o menor da matriz, ou seja, o determinante da submatriz que sobra quando removemos a linha $ i $ e a coluna $ j $.
Vamos calcular cada cofator:
  • $ C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot det Cij = 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = -1 $
  • $ C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot det Cij = (-1)^i+j cdot Mij = -1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = -1 $
  • $ C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot det Mij = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = 1 $
  • $ C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot det i = -1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = -1 $
  • $ C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot det j = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = 1 $
  • $ C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot det C11 = (-1)^1+1 cdot det0 & 1 1 & 1 = 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) = -1 = -1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = -1 $
  • $ C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot det C12 = (-1)^1+2 cdot det1 & 1 0 & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0) = -1 = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = 1 $
  • $ C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot det C13 = (-1)^1+3 cdot det1 & 0 0 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 1 = -1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 0 $
  • $ C_{33} = (-1)^{3+3} \cdot det C21 = (-1)^2+1 cdot det1 & 0 1 & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) = -1 = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = -1 $

Passo 6

Agora, vamos montar a matriz de cofatores:
Cofatores = -1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 1 & 0 & -1
A adjunta é a transposta dessa matriz:
Adj(N) = -1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 1 & -1 & -1

Passo 7

Finalmente, a inversa de $ N $ é dada por:
N
Substituindo os valores que calculamos:
N^-1 = 1det(N) cdot Adj(N)

Resposta

A inversa da matriz $ N $ é:
N

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