Encontre a matriz
que satisfaz a equação matricial
onde
Passo 1
Resumo da Questão e Conteúdo Necessário
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a matriz $ X $ que satisfaz a equação matricial $ X \cdot A^{2} \cdot A^{-1} = B $, onde:
Conteúdo da Matéria:
- Operações com Matrizes: Multiplicação e inversão de matrizes.
- Propriedades de Matrizes Diagonais: Facilita cálculos de potências e inversões.
Vamos precisar aplicar propriedades de matrizes diagonais, calcular potências e inversas de matrizes, e resolver a equação para encontrar $ X $.
Passo 2
Calculando $ A^{2} $
Primeiro, vamos calcular $ A^{2} $, que significa multiplicar a matriz $ A $ por ela mesma.
Passo 3
Calculando $ A^{-1} $
Em seguida, vamos encontrar a inversa de $ A $, denotada por $ A^{-1} $. Para matrizes diagonais, a inversa é simplesmente a matriz com os inversos dos elementos da diagonal.
Importante: A inversa de um número $ a $ é $ \frac{1}{a} $. No caso de $ A $, aplicamos isso a cada elemento diagonal.
Passo 4
Reescrevendo a Equação Original
Agora, substituímos $ A^{2} $ e $ A^{-1} $ na equação original:
Vamos simplificar a multiplicação desses dois resultados:
Então, a equação fica:
Passo 5
Isolando $ X $ na Equação
Queremos encontrar $ X $, então precisamos “isolar” $ X $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pela inversa da matriz que está multiplicando $ X $.
Calculando a inversa de
, que é uma matriz diagonal:
Portanto:
Passo 6
Realizando a Multiplicação para Encontrar $ X $
Agora, vamos multiplicar a matriz $ B $ pela matriz inversa que encontramos:
Multiplicando as matrizes:
Resposta
A matriz $ X $ que satisfaz a equação $ X \cdot A^{2} \cdot A^{-1} = B $ é: