Encontre a matriz X que satisfaz a equação matricial X cdot A^2 cdot A^-1=B onde

Passo 1

Resumo da Questão e Conteúdo Necessário
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a matriz $ X $ que satisfaz a equação matricial $ X \cdot A^{2} \cdot A^{-1} = B $, onde:
X
Conteúdo da Matéria:
  • Operações com Matrizes: Multiplicação e inversão de matrizes.
  • Propriedades de Matrizes Diagonais: Facilita cálculos de potências e inversões.
Vamos precisar aplicar propriedades de matrizes diagonais, calcular potências e inversas de matrizes, e resolver a equação para encontrar $ X $.

Passo 2

Calculando $ A^{2} $
Primeiro, vamos calcular $ A^{2} $, que significa multiplicar a matriz $ A $ por ela mesma.
A^2

Passo 3

Calculando $ A^{-1} $
Em seguida, vamos encontrar a inversa de $ A $, denotada por $ A^{-1} $. Para matrizes diagonais, a inversa é simplesmente a matriz com os inversos dos elementos da diagonal.
A^-1
Importante: A inversa de um número $ a $ é $ \frac{1}{a} $. No caso de $ A $, aplicamos isso a cada elemento diagonal.

Passo 4

Reescrevendo a Equação Original
Agora, substituímos $ A^{2} $ e $ A^{-1} $ na equação original:
A^2
Vamos simplificar a multiplicação desses dois resultados:
A^-1
Então, a equação fica:
X cdot A^2 cdot A^-1 = X cdot 4 & 0 0 & 1 cdot 12 & 0 0 & -1 = B

Passo 5

Isolando $ X $ na Equação
Queremos encontrar $ X $, então precisamos “isolar” $ X $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pela inversa da matriz que está multiplicando $ X $.
X
Calculando a inversa de X , que é uma matriz diagonal:
X
Portanto:
X

Passo 6

Realizando a Multiplicação para Encontrar $ X $
Agora, vamos multiplicar a matriz $ B $ pela matriz inversa que encontramos:
X
Multiplicando as matrizes:
B

Resposta

A matriz $ X $ que satisfaz a equação $ X \cdot A^{2} \cdot A^{-1} = B $ é:
X

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