Assinale o valor de x_{1}, a 1^{\text {a }} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear dado pela matriz aumentada. As linhas desta matriz aumentada (que peguei do enunciado) são:
A pergunta específica que preciso responder: qual é o valor de x_{1}, a primeira entrada da solução \vec{x} que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}? (Opções fornecidas: (A) -4, (B) -3, (C) -2, (D) -1, (E) 1, (F) 2, (G) 3, (H) 4.)]
Passo 2
O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” e como calcular:
Queremos minimizar a função \varphi(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}, que é a soma dos quadrados dos resíduos.
A condição de mínimo (derivada/gradiente nulo) leva às equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. Essas são três equações lineares (pois \vec{x}\in\mathbb{R}^{3}) que vamos resolver para obter a solução de mínimos quadrados. Essa é a técnica padrão quando o sistema é sobredeterminado (mais equações do que incógnitas) ou quando não há solução exata.
Passo 3
Vou calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b}. Para organizar, escrevo as colunas de A:
Resumo e incentivo: obtivemos a solução de mínimos quadrados de forma direta usando as equações normais; é normal em prova o cálculo de A^{T}A, A^{T}\vec{b} e depois resolver o sistema 3×3. Você fez bem em pedir uma resolução passo a passo — essa rotina aparece sempre em exames. Vai com calma na hora da prova: calcule produtos internos com atenção e simplifique linhas cedo, isso economiza tempo.