Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & 4 & 10 \\\\ -1 & 0 & -4 & -8 \\\\ -1 & -2 & 1 & 9 \\\\ -1 & -2 & 3 & 5 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{1}, a 1^{\text {a }} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear dado pela matriz aumentada. As linhas desta matriz aumentada (que peguei do enunciado) são:
\begin{array}{rcl} \text{linha 1:} & & [-1\quad 0\quad 4\mid 10],\\[4pt] \text{linha 2:} & & [-1\quad 0\quad -4\mid -8],\\[4pt] \text{linha 3:} & & [-1\quad -2\quad 1\mid 9],\\[4pt] \text{linha 4:} & & [-1\quad -2\quad 3\mid 5]. \end{array}
Ou seja, a matriz A e o vetor \vec{b} são
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\[3pt] -1 & 0 & -4\\[3pt] -1 & -2 & 1\\[3pt] -1 & -2 & 3 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}10\\[3pt]-8\\[3pt]9\\[3pt]5\end{pmatrix}.
A pergunta específica que preciso responder: qual é o valor de x_{1}, a primeira entrada da solução \vec{x} que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}? (Opções fornecidas: (A) -4, (B) -3, (C) -2, (D) -1, (E) 1, (F) 2, (G) 3, (H) 4.)]

Passo 2

O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” e como calcular:
  • Queremos minimizar a função \varphi(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}, que é a soma dos quadrados dos resíduos.
  • A condição de mínimo (derivada/gradiente nulo) leva às equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. Essas são três equações lineares (pois \vec{x}\in\mathbb{R}^{3}) que vamos resolver para obter a solução de mínimos quadrados. Essa é a técnica padrão quando o sistema é sobredeterminado (mais equações do que incógnitas) ou quando não há solução exata.

Passo 3

Vou calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b}. Para organizar, escrevo as colunas de A:
\text{col}_1=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix},\quad \text{col}_2=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix},\quad \text{col}_3=\begin{pmatrix}4\\\ -4\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular as entradas de A^{T}A como produtos internos das colunas:
\begin{aligned} (A^{T}A)_{11} &= \text{col}_1\cdot\text{col}_1 = (-1)^2+(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2 = 4,\\[4pt] (A^{T}A)_{12} &= \text{col}_1\cdot\text{col}_2 = (-1)\cdot0+(-1)\cdot0+(-1)\cdot(-2)+(-1)\cdot(-2)=4,\\[4pt] (A^{T}A)_{13} &= \text{col}_1\cdot\text{col}_3 = (-1)\cdot4+(-1)\cdot(-4)+(-1)\cdot1+(-1)\cdot3=-4,\\[4pt] (A^{T}A)_{22} &= \text{col}_2\cdot\text{col}_2 = 0^2+0^2+(-2)^2+(-2)^2=8,\\[4pt] (A^{T}A)_{23} &= \text{col}_2\cdot\text{col}_3 = 0\cdot4+0\cdot(-4)+(-2)\cdot1+(-2)\cdot3=-8,\\[4pt] (A^{T}A)_{33} &= \text{col}_3\cdot\text{col}_3 = 4^2+(-4)^2+1^2+3^2=42. \end{aligned}
Como A^{T}A é simétrica, completo a matriz:
A^{T}A= \begin{pmatrix} 4 & 4 & -4\\[3pt] 4 & 8 & -8\\[3pt] -4 & -8 & 42 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular A^{T}\vec{b} fazendo produto interno de cada coluna com \vec{b}:
\begin{aligned} (A^{T}\vec{b})_{1} &= \text{col}_1\cdot\vec{b}=(-1)\cdot10+(-1)\cdot(-8)+(-1)\cdot9+(-1)\cdot5=-16,\\[4pt] (A^{T}\vec{b})_{2} &= \text{col}_2\cdot\vec{b}=0\cdot10+0\cdot(-8)+(-2)\cdot9+(-2)\cdot5=-28,\\[4pt] (A^{T}\vec{b})_{3} &= \text{col}_3\cdot\vec{b}=4\cdot10+(-4)\cdot(-8)+1\cdot9+3\cdot5=96. \end{aligned}
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}-16\\[3pt]-28\\[3pt]96\end{pmatrix}.]

Passo 6

As equações normais são
\begin{pmatrix} 4 & 4 & -4\\[3pt] 4 & 8 & -8\\[3pt] -4 & -8 & 42 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[3pt]x_{2}\\[3pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-16\\[3pt]-28\\[3pt]96\end{pmatrix}.
Divido as duas primeiras linhas por 4 para simplificar:
\begin{aligned} &\text{(1)}\quad x_{1}+x_{2}-x_{3}=-4,\\[4pt] &\text{(2)}\quad x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=-7,\\[4pt] &\text{(3)}\quad -4x_{1}-8x_{2}+42x_{3}=96. \end{aligned}]

Passo 7

Resolvendo o sistema por eliminação/substituição:
  • Subtraio (1) de (2):
(2)-(1):\quad (x_{1}-x_{1})+(2x_{2}-x_{2})+(-2x_{3}-(-x_{3}))=-7-(-4)
que dá
x_{2}-x_{3}=-3.
  • Da equação (1) isolo x_{1}:
x_{1}=-4-x_{2}+x_{3}.
  • Substituo x_{2}=x_{3}-3 (rearranjando x_{2}-x_{3}=-3) na expressão de x_{1}:
x_{1}=-4-(x_{3}-3)+x_{3}=-4-x_{3}+3+x_{3}=-1.
Ou seja, já aparece que x_{1}=-1 (independente de x_{3} até aqui).
  • Para completar (ver consistência) substituo x_{1}=-1 e x_{2}=x_{3}-3 na equação (3):
-4(-1)-8(x_{3}-3)+42x_{3}=96.
Calculando:
4-8x_{3}+24+42x_{3}=96 \quad\Rightarrow\quad 28+34x_{3}=96,
34x_{3}=68\quad\Rightarrow\quad x_{3}=2.
Então x_{2}=x_{3}-3=2-3=-1. A solução de mínimos quadrados é
\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\[3pt]-1\\[3pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 8

Resumo e incentivo: obtivemos a solução de mínimos quadrados de forma direta usando as equações normais; é normal em prova o cálculo de A^{T}A, A^{T}\vec{b} e depois resolver o sistema 3×3. Você fez bem em pedir uma resolução passo a passo — essa rotina aparece sempre em exames. Vai com calma na hora da prova: calcule produtos internos com atenção e simplifique linhas cedo, isso economiza tempo.

Resposta

(D) -1

Exercícios relacionados