Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam
uma matriz invertível,
um autovalor de
e
o respectivo autoespaço. Então
é autovalor de
e o autoespaço associado é
.
II - Os autovalores de
são sempre iguais aos de
.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I - Sejam
II - Os autovalores de
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos duas afirmações sobre matrizes e seus autovalores. O conteúdo aqui envolve conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores, autovetores, matrizes inversas e matrizes transpostas. Para resolver, vamos precisar entender o que são autovalores, como eles se comportam quando tiramos a inversa de uma matriz e como eles se relacionam com a transposta de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a afirmação I: “Sejam
uma matriz invertível,
um autovalor de
e
o respectivo autoespaço. Então
é autovalor de
e o autoespaço associado é
.”
Um autovalor
de
significa que existe um vetor não nulo
tal que
. Se
é invertível, podemos aplicar
aos dois lados da equação:
, o que simplifica para
. Dividindo ambos os lados por
, temos
. Isso mostra que
é um autovalor de
e que o autovetor
(e, portanto, o autoespaço
) é o mesmo para
e
.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação II: “Os autovalores de
são sempre iguais aos de
.”
A matriz transposta
tem os mesmos autovalores que
. Isso ocorre porque o determinante de
é igual ao determinante de
, já que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. Portanto, os polinômios característicos de
e
são os mesmos, implicando que eles têm os mesmos autovalores.
Resposta
A opção correta é (B) Todas são verdadeiras.