Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam A uma matriz invertível, lambda um autovalor de A e H o respectivo autoespaço. Então lambda^-1 é autovalor de A^-1 e o autoespaço associado é H.
II - Os autovalores de A^T são sempre iguais aos de A.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos duas afirmações sobre matrizes e seus autovalores. O conteúdo aqui envolve conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores, autovetores, matrizes inversas e matrizes transpostas. Para resolver, vamos precisar entender o que são autovalores, como eles se comportam quando tiramos a inversa de uma matriz e como eles se relacionam com a transposta de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a afirmação I: “Sejam uma matriz invertível, um autovalor de e o respectivo autoespaço. Então é autovalor de e o autoespaço associado é .”
Um autovalor de significa que existe um vetor não nulo tal que . Se é invertível, podemos aplicar aos dois lados da equação: , o que simplifica para . Dividindo ambos os lados por , temos . Isso mostra que é um autovalor de e que o autovetor (e, portanto, o autoespaço ) é o mesmo para e .

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação II: “Os autovalores de são sempre iguais aos de .”
A matriz transposta tem os mesmos autovalores que . Isso ocorre porque o determinante de é igual ao determinante de , já que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. Portanto, os polinômios característicos de e são os mesmos, implicando que eles têm os mesmos autovalores.

Resposta

A opção correta é (B) Todas são verdadeiras.

Exercícios relacionados