Considere as afirmativas abaixo:
I - Seja
uma matriz
com 31 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 31, então
é diagonalizável.
II - Se
não é diagonalizável, então seu polinômio característico possui pelo menos uma raiz complexa não-real.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
I - Seja
II - Se
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre matrizes e propriedades como autovalores e diagonalização. A matéria aqui envolve álgebra linear, especificamente conceitos de autovalores, diagonalizabilidade e posto de uma matriz. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser diagonalizável e como os autovalores influenciam isso.
Passo 2
Vamos analisar a afirmação I:
I - Seja
uma matriz
com 31 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 31, então
é diagonalizável.
Primeiro, sabemos que o posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes, e está relacionado aos autovalores não nulos da matriz. Aqui,
tem 31 autovalores reais distintos diferentes de zero e um posto de 31. Isso significa que
tem exatamente 31 autovalores não nulos e, como são distintos, cada um contribui com uma dimensão única.
Para uma matriz ser diagonalizável, ela precisa ter um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Como os 31 autovalores são distintos, cada um deles tem um autovetor associado único. Além disso, como o posto é 31, os autovalores não nulos já cobrem essa parte da diagonalização. O restante dos autovalores são zeros, e se a multiplicidade geométrica de zero for igual à sua multiplicidade algébrica (o que geralmente ocorre quando os autovalores não zero são distintos),
será diagonalizável.
Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação II:
II - Se
não é diagonalizável, então seu polinômio característico possui pelo menos uma raiz complexa não-real.
Aqui, a ideia é que se uma matriz não é diagonalizável, isso está relacionado aos seus autovalores e à existência de autovetores suficientes. No entanto, não necessariamente uma matriz não diagonalizável precisa ter autovalores complexos não reais.
Por exemplo, considere uma matriz
que tem um autovalor real com multiplicidade maior que sua multiplicidade geométrica (como uma matriz Jordan). Essa matriz não é diagonalizável, mas todos os seus autovalores são reais. Portanto, a existência de um autovalor complexo não real não é uma condição necessária para que uma matriz não seja diagonalizável.
Assim, a afirmação II é falsa.
Resposta
(D) Apenas I é verdadeira.