Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é uma projeção ortogonal em uma reta do
, então
.
II - Se
é uma projeção ortogonal em um plano do
, então
。
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas afirmações sobre projeções ortogonais no espaço tridimensional,
. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre projeções e determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que são projeções ortogonais e como calcular o determinante de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Em
, uma projeção ortogonal
em uma reta significa que qualquer vetor será “projetado” nessa reta de forma perpendicular. Da mesma forma, uma projeção
em um plano projeta vetores de maneira perpendicular ao plano.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de alguns conceitos importantes sobre matrizes e determinantes. O determinante de uma matriz pode nos dizer coisas sobre as propriedades dessa matriz, como se ela é invertível ou não. Além disso, os valores próprios (ou autovalores) de uma projeção ortogonal são sempre 0 ou 1.
Passo 4
Vamos analisar a primeira afirmação:
I - Se
é uma projeção ortogonal em uma reta do
, então
.
Como
é uma projeção, seus valores próprios são 0 e 1. Então, os autovalores de
serão
e
. O determinante é o produto dos autovalores, então
, que é diferente de zero. Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda afirmação:
II - Se
é uma projeção ortogonal em um plano do
, então
.
Assim como antes, os valores próprios de
são 0 e 1. Os autovalores de
serão
e
. Então,
, que também é diferente de zero. Portanto, a afirmação II também é verdadeira.
Resposta
A alternativa correta é a © Todas são verdadeiras.