Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \vec{v} e \vec{u} são autovetores de uma matriz simétrica associados a autovalores distintos, então \langle\vec{v}, \vec{u}\rangle=0.
II - Se N é uma matriz ortogonal, então N é ortogonal.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações sobre matrizes:
I – Propriedade de matrizes simétricas e autovetores associados a autovalores distintos.
II – Propriedade de matrizes ortogonais.
Vamos verificar cada uma.

Passo 2

Análise de I: seja A simétrica e \vec{v},\vec{u} autovetores de A associados a autovalores distintos \lambda e \mu. Então
A\vec{v}=\lambda\vec{v} e A\vec{u}=\mu\vec{u}.
Como A é simétrica, A^T=A, temos
\vec{v}^T A\vec{u}=(A\vec{v})^T\vec{u}.
Substituindo,
\vec{v}^T(\mu\vec{u})=(\lambda\vec{v})^T\vec{u}
\mu\,\vec{v}^T\vec{u}=\lambda\,\vec{v}^T\vec{u}
(\mu-\lambda)\,\langle\vec{v},\vec{u}\rangle=0.
Como \mu\neq\lambda, segue \langle\vec{v},\vec{u}\rangle=0. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Análise de II: a definição de matriz ortogonal N é
N^T N = I.
Isso significa, por definição, que N é ortogonal. A afirmação é trivialmente verdadeira.

Resposta

(D)

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