Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
e
são autovetores de uma matriz simétrica associados a autovalores distintos, então
.
II - Se
é uma matriz ortogonal, então
é ortogonal.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações sobre matrizes:
I – Propriedade de matrizes simétricas e autovetores associados a autovalores distintos.
II – Propriedade de matrizes ortogonais.
Vamos verificar cada uma.
I – Propriedade de matrizes simétricas e autovetores associados a autovalores distintos.
II – Propriedade de matrizes ortogonais.
Vamos verificar cada uma.
Passo 2
Análise de I: seja
simétrica e
autovetores de
associados a autovalores distintos
e
. Então
e
.
Como é simétrica,
, temos
.
Substituindo,
.
Como , segue
. Logo, I é verdadeira.
Como
Substituindo,
Como
Passo 3
Análise de II: a definição de matriz ortogonal
é
Isso significa, por definição, que
é ortogonal. A afirmação é trivialmente verdadeira.
Resposta
(D)