Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
e
são autovetores de uma matriz simétrica associados a autovalores distintos, então
.
II - Se
é uma matriz ortogonal, então
é ortogonal.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a veracidade de duas afirmações sobre matrizes reais e produtos internos:
I – “Se e
são autovetores de uma matriz simétrica associados a autovalores distintos, então
.”
II – “Se é uma matriz ortogonal, então
é ortogonal.”
O conteúdo envolve propriedades de matrizes simétricas (ortogonalidade de autovetores) e o conceito de matriz ortogonal (definição).
I – “Se
II – “Se
O conteúdo envolve propriedades de matrizes simétricas (ortogonalidade de autovetores) e o conceito de matriz ortogonal (definição).
Passo 2
Para a afirmação I, usamos o Teorema Espectral para matrizes reais simétricas, que diz que toda matriz simétrica
é diagonalizável por uma matriz ortogonal e, em particular, autovetores correspondentes a autovalores distintos são mutuamente ortogonais. Logo, se
e
são autovetores de
com autovalores diferentes, então
Portanto, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 3
A afirmativa II diz “Se
é uma matriz ortogonal, então
é ortogonal.” Isso é uma tautologia, pois chamar
de matriz ortogonal significa justamente que ela satisfaz
ou equivalentemente que seus vetores-coluna formam uma base ortonormal. Não há condição extra nem contradição: a definição já garante que
é ortogonal. Logo, a afirmativa II também é verdadeira.
Resposta
Todas são verdadeiras. Portanto a opção correta é (D).