Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \vec{v} e \vec{u} são autovetores de uma matriz simétrica associados a autovalores distintos, então \langle\vec{v}, \vec{u}\rangle=0.
II - Se N é uma matriz ortogonal, então N é ortogonal.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a veracidade de duas afirmações sobre matrizes reais e produtos internos:
I – “Se \vec v e \vec u são autovetores de uma matriz simétrica associados a autovalores distintos, então \langle\vec v,\vec u\rangle=0.”
II – “Se N é uma matriz ortogonal, então N é ortogonal.”
O conteúdo envolve propriedades de matrizes simétricas (ortogonalidade de autovetores) e o conceito de matriz ortogonal (definição).

Passo 2

Para a afirmação I, usamos o Teorema Espectral para matrizes reais simétricas, que diz que toda matriz simétrica A é diagonalizável por uma matriz ortogonal e, em particular, autovetores correspondentes a autovalores distintos são mutuamente ortogonais. Logo, se \vec v e \vec u são autovetores de A = A^T com autovalores diferentes, então
\langle \vec v, \vec u\rangle = 0.
Portanto, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

A afirmativa II diz “Se N é uma matriz ortogonal, então N é ortogonal.” Isso é uma tautologia, pois chamar N de matriz ortogonal significa justamente que ela satisfaz
N^T N = I,
ou equivalentemente que seus vetores-coluna formam uma base ortonormal. Não há condição extra nem contradição: a definição já garante que N é ortogonal. Logo, a afirmativa II também é verdadeira.

Resposta

Todas são verdadeiras. Portanto a opção correta é (D).

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