55 Sabendo que

f(x)=\left\{\begin{array}{l} m^{2} x^{2}-m+10, \text { se } x \geq 1 \\\\ 8 x+2 m^{2}, \text { se } x<1 \end{array}\right.
e que f é derivável em todos os pontos, então m vale
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} m^{2}x^{2}-m+10, & x\ge1,\\\\ 8x+2m^{2}, & x<1, \end{cases}
e pede o valor de m para que f seja derivável em todo ponto. Para isso precisamos garantir duas condições em x=1:
  1. continuidade, isto é, os limites laterais em 1 devem coincidir,
  2. derivabilidade, isto é, as derivadas laterais em 1 também devem coincidir.

Passo 2

Impondo a continuidade em x=1, igualamos os valores de f vindos da direita e da esquerda:
m^{2}\cdot1^{2}-m+10 \;=\; 8\cdot1 + 2m^{2}.
Isso dá
m^{2}-m+10 = 8 + 2m^{2} \quad\Longrightarrow\quad -m^{2}-m+2=0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}+m-2=0.
Resolvendo,
m = \frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1\pm3}{2},
logo
m = 1 \quad\text{ou}\quad m = -2.

Passo 3

Agora impondo a derivabilidade em x=1, igualamos as derivadas laterais.
Para x<1, f'(x)=8.
Para x>1, f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(m^{2}x^{2}-m+10\bigr) = 2m^{2}x, então em x=1 vale 2m^{2}.
Assim
8 = 2m^{2} \quad\Longrightarrow\quad m^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad m=2 \quad\text{ou}\quad m=-2.

Passo 4

Dos resultados: continuidade deu m=1 ou -2, e derivabilidade deu m=2 ou -2. O único valor que satisfaz as duas condições é
m = -2.

Resposta

a) -2

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