Q18: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são 3 e -8 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}3 & 0 \\\\ 0 & -8\end{array}\right] M^{-1}
(B) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}3 & 0 \\\\ 0 & -8\end{array}\right] M
(C) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{3} & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{8}\end{array}\right] M^{-1}
(D) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-3 & 0 \\\\ 0 & 8\end{array}\right] M^{-1}
(E) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-3 & 0 \\\\ 0 & 8\end{array}\right] M
(F) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{3} & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{8}\end{array}\right] M
(G) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma matriz 2\times2 com autovalores 3 e -8 associados aos vetores \vec v_{1} e \vec v_{2}, define M=[\vec v_{1}\;\vec v_{2}] e pede a expressão de A^{-1}. Vamos usar diagonalização de matrizes.
Passo 2
Pela diagonalização, podemos escrever
A = M \begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ 0 & -8\end{pmatrix} M^{-1}.
Passo 3
Tomando inversas e lembrando que (XYZ)^{-1}=Z^{-1}Y^{-1}X^{-1},