Q18: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são 3 e -8 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}3 & 0 \\\\ 0 & -8\end{array}\right] M^{-1}
(B) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}3 & 0 \\\\ 0 & -8\end{array}\right] M
(C) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{3} & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{8}\end{array}\right] M^{-1}
(D) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-3 & 0 \\\\ 0 & 8\end{array}\right] M^{-1}
(E) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-3 & 0 \\\\ 0 & 8\end{array}\right] M
(F) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{3} & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{8}\end{array}\right] M
(G) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma matriz 2\times2 com autovalores 3 e -8 associados aos vetores \vec v_{1} e \vec v_{2}, define M=[\vec v_{1}\;\vec v_{2}] e pede a expressão de A^{-1}. Vamos usar diagonalização de matrizes.

Passo 2

Pela diagonalização, podemos escrever
A = M \begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ 0 & -8\end{pmatrix} M^{-1}.

Passo 3

Tomando inversas e lembrando que (XYZ)^{-1}=Z^{-1}Y^{-1}X^{-1},
A^{-1} =\bigl(M\begin{pmatrix}3 & 0 \\\ 0 & -8\end{pmatrix}M^{-1}\bigr)^{-1} = M\,\begin{pmatrix}3 & 0 \\\ 0 & -8\end{pmatrix}^{-1}M^{-1}.

Passo 4

Como a inversa de uma matriz diagonal é a diagonal dos inversos,
\begin{pmatrix}3 & 0 \\\ 0 & -8\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}1/3 & 0 \\\ 0 & -1/8\end{pmatrix}.

Passo 5

Substituindo, obtemos
A^{-1} = M \begin{pmatrix}1/3 & 0 \\\ 0 & -1/8\end{pmatrix} M^{-1},
que corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C)

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