Considere as 3 afirmativas a seguir:
I) Por ser a força gravitacional, nas proximidades da Terra, constante
, podemos associar a essa força uma energia potencial igual a
, onde z é a altura em relação a superfície da Terra e
é uma constante arbitrária.
II) Considerando um pêndulo simples, onde atuam sobre o pêndulo apenas o peso, que é uma força conservativa, e a tração no fio. Uma vez que a tração não realiza trabalho, podemos dizer que a energia cinética do pêndulo se conserva.
III) Considerando um lançamento de projétil em que a velocidade inicial faz um ângulo
com a direção horizontal. Sabemos que, antes de atingir o solo, o máximo de energia potencial ocorrerá no ponto de altura máxima da trajetória do projétil quando a energia cinética será
.
Quais das afirmativas acima são verdadeiras?
Escolha uma opção:
◯ a. Apenas a afirmativa II está correta.
◯ b. Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
◯ c. Todas as afirmativas estão corretas.
◯ d. Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
◯ e. Apenas a afirmativa III está correta.
◯ f. Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
◯ g. Nenhuma das afirmativas está correta.
◯ h. Apenas a afirmativa I está correta.
I) Por ser a força gravitacional, nas proximidades da Terra, constante
II) Considerando um pêndulo simples, onde atuam sobre o pêndulo apenas o peso, que é uma força conservativa, e a tração no fio. Uma vez que a tração não realiza trabalho, podemos dizer que a energia cinética do pêndulo se conserva.
III) Considerando um lançamento de projétil em que a velocidade inicial faz um ângulo
◯ a. Apenas a afirmativa II está correta.
◯ b. Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
◯ c. Todas as afirmativas estão corretas.
◯ d. Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
◯ e. Apenas a afirmativa III está correta.
◯ f. Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
◯ g. Nenhuma das afirmativas está correta.
◯ h. Apenas a afirmativa I está correta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede.
- Temos três afirmativas e precisamos dizer quais são verdadeiras.
- Afirmativa I: “Por ser a força gravitacional, nas proximidades da Terra, constante
, podemos associar a essa força uma energia potencial igual a , onde é a altura em relação à superfície da Terra e é uma constante arbitrária.” - Afirmativa II: “Considerando um pêndulo simples, onde atuam sobre o pêndulo apenas o peso, que é uma força conservativa, e a tração no fio. Uma vez que a tração não realiza trabalho, podemos dizer que a energia cinética do pêndulo se conserva.”
- Afirmativa III: “Considerando um lançamento de projétil com velocidade inicial formando ângulo
com a horizontal. Antes de atingir o solo, o máximo de energia potencial ocorre no ponto de altura máxima da trajetória do projétil quando a energia cinética será .” - O que se pede: indicar quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras (escolher entre as opções a–h).
Passo 2
Análise detalhada da afirmativa I.
- Conceito chave: uma força
é dita conservativa se existe uma função (energia potencial) tal que . Para uma variação unidimensional vertical isso dá . - Aplicando ao peso próximo da Terra: a força peso é
. Tomando o eixo positivo para cima, a componente vertical é (pois aponta para baixo). - Usando a relação
obtemos
- Integramos em
:
onde
é constante de integração (energia potencial zero arbitrária).
- Interpretação: essa função
satisfaz a definição de energia potencial para a força peso na aproximação de constante. A presença de é esperada: só importam diferenças de energia potencial.
Conclusão do Passo 2: a afirmativa I é correta.
Passo 3
Análise detalhada da afirmativa II.
- Forças no pêndulo simples (massa puntiforme, fio ideal sem massa): peso
e tração dirigida ao longo do fio. - Trabalho da tração: num deslocamento infinitesimal
tangencial ao arco, a tração é radial. Como é perpendicular ao deslocamento tangencial, o produto escalar é zero:
Logo a tração não realiza trabalho — isso é correto.
- Mas atenção ao que a afirmativa conclui: “logo a energia cinética do pêndulo se conserva.” Isso exige cuidado: a ausência de trabalho da tração não garante conservação de energia cinética, porque existe trabalho do peso.
- Usando o teorema trabalho-energia:
já que
. Como
geralmente não é zero quando o corpo se desloca verticalmente (o peso faz trabalho diferente de zero ao deslocar a massa),
normalmente é diferente de zero — ou seja, a energia cinética varia durante o movimento.
- Outra forma de ver: a energia mecânica total
é conservada (pois apenas há forças conservativas atuando e a tração não realiza trabalho). Portanto e trocam energia entre si: quando o corpo desce, diminui e aumenta; quando sobe, diminui. Exemplo palpável: num pêndulo ideal a velocidade é máxima no ponto mais baixo e nula nos pontos de amplitude máxima; portanto não é constante no tempo. - Conclusão lógica: a afirmação de que a tração não realiza trabalho é verdadeira, mas a conclusão de que a energia cinética se conserva é falsa.
Conclusão do Passo 3: a afirmativa II é falsa.
Passo 4
Análise detalhada da afirmativa III.
- Dinâmica do projétil (sem resistência do ar): a velocidade inicial tem componentes
- Propriedade importante:
é constante ao longo da trajetória (não há aceleração horizontal), muda por causa de . No ponto mais alto (ápice) da trajetória temos instantaneamente, mas permanece . - Energia cinética geral:
No ápice
, portanto
- Observação: salvo o caso especial em que
(lançamento vertical para cima, ), e portanto não é zero. - A afirmativa III diz duas coisas encadeadas: (i) o máximo de energia potencial ocorre no ponto de altura máxima — isso é correto; (ii) naquele ponto a energia cinética será
— isso é, em geral, incorreto para um projétil lançado com ângulo genérico, porque o componente horizontal da velocidade permanece e dá energia cinética não nula no ápice. - Exemplo numérico rápido (apenas ilustrativo): se
e , então , logo — claramente não zero. - Portanto a parte final da afirmativa III é falsa, mesmo que a primeira parte (potencial máxima no ápice) seja verdadeira.
Conclusão do Passo 4: a afirmativa III é falsa.
Passo 5
Síntese final das três análises:
- I: verdadeira.
- II: falsa.
- III: falsa.
Portanto apenas a afirmativa I está correta.
Resposta
h. Apenas a afirmativa I está correta.