Considere as 3 afirmativas a seguir:
I) Por ser a força gravitacional, nas proximidades da Terra, constante
\vec{F}_{g}=m \vec{g}, podemos associar a essa força uma energia potencial igual a U(z)=m g z+U_{0}, onde z é a altura em relação a superfície da Terra e U_{0} é uma constante arbitrária.
II) Considerando um pêndulo simples, onde atuam sobre o pêndulo apenas o peso, que é uma força conservativa, e a tração no fio. Uma vez que a tração não realiza trabalho, podemos dizer que a energia cinética do pêndulo se conserva.
III) Considerando um lançamento de projétil em que a velocidade inicial faz um ângulo \theta com a direção horizontal. Sabemos que, antes de atingir o solo, o máximo de energia potencial ocorrerá no ponto de altura máxima da trajetória do projétil quando a energia cinética será E_{C \text { min }}=0.
Quais das afirmativas acima são verdadeiras?
Escolha uma opção:
◯ a. Apenas a afirmativa II está correta.
◯ b. Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
◯ c. Todas as afirmativas estão corretas.
◯ d. Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
◯ e. Apenas a afirmativa III está correta.
◯ f. Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
◯ g. Nenhuma das afirmativas está correta.
◯ h. Apenas a afirmativa I está correta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede.
  • Temos três afirmativas e precisamos dizer quais são verdadeiras.
  • Afirmativa I: “Por ser a força gravitacional, nas proximidades da Terra, constante \vec{F}_{g}=m \vec{g}, podemos associar a essa força uma energia potencial igual a U(z)=m g z+U_{0}, onde z é a altura em relação à superfície da Terra e U_{0} é uma constante arbitrária.”
  • Afirmativa II: “Considerando um pêndulo simples, onde atuam sobre o pêndulo apenas o peso, que é uma força conservativa, e a tração no fio. Uma vez que a tração não realiza trabalho, podemos dizer que a energia cinética do pêndulo se conserva.”
  • Afirmativa III: “Considerando um lançamento de projétil com velocidade inicial formando ângulo \theta com a horizontal. Antes de atingir o solo, o máximo de energia potencial ocorre no ponto de altura máxima da trajetória do projétil quando a energia cinética será E_{C\text{ min}}=0.”
  • O que se pede: indicar quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras (escolher entre as opções a–h).

Passo 2

Análise detalhada da afirmativa I.
  • Conceito chave: uma força \vec{F} é dita conservativa se existe uma função U (energia potencial) tal que \vec{F}=-\nabla U. Para uma variação unidimensional vertical z isso dá F_z=-\dfrac{dU}{dz}.
  • Aplicando ao peso próximo da Terra: a força peso é \vec{F}_g=m\vec{g}. Tomando o eixo z positivo para cima, a componente vertical é F_z=-mg (pois \vec g aponta para baixo).
  • Usando a relação \;F_z=-\dfrac{dU}{dz}\; obtemos
-mg = -\frac{dU}{dz}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dU}{dz}=mg .
  • Integramos em z:
U(z)=\int mg\,dz = mgz + U_{0},
onde U_{0} é constante de integração (energia potencial zero arbitrária).
  • Interpretação: essa função U(z) satisfaz a definição de energia potencial para a força peso na aproximação de g constante. A presença de U_{0} é esperada: só importam diferenças de energia potencial.
Conclusão do Passo 2: a afirmativa I é correta.

Passo 3

Análise detalhada da afirmativa II.
  • Forças no pêndulo simples (massa puntiforme, fio ideal sem massa): peso \vec P = m\vec g e tração \vec T dirigida ao longo do fio.
  • Trabalho da tração: num deslocamento infinitesimal \,d\vec r tangencial ao arco, a tração é radial. Como \vec T é perpendicular ao deslocamento tangencial, o produto escalar é zero:
dW_T = \vec T\cdot d\vec r = 0.
Logo a tração não realiza trabalho — isso é correto.
  • Mas atenção ao que a afirmativa conclui: “logo a energia cinética do pêndulo se conserva.” Isso exige cuidado: a ausência de trabalho da tração não garante conservação de energia cinética, porque existe trabalho do peso.
  • Usando o teorema trabalho-energia:
\Delta K = W_{\text{total}} = W_T + W_g = W_g,
já que W_T=0. Como W_g geralmente não é zero quando o corpo se desloca verticalmente (o peso faz trabalho diferente de zero ao deslocar a massa), \Delta K normalmente é diferente de zero — ou seja, a energia cinética varia durante o movimento.
  • Outra forma de ver: a energia mecânica total E=K+U é conservada (pois apenas há forças conservativas atuando e a tração não realiza trabalho). Portanto K e U trocam energia entre si: quando o corpo desce, U diminui e K aumenta; quando sobe, K diminui. Exemplo palpável: num pêndulo ideal a velocidade é máxima no ponto mais baixo e nula nos pontos de amplitude máxima; portanto K não é constante no tempo.
  • Conclusão lógica: a afirmação de que a tração não realiza trabalho é verdadeira, mas a conclusão de que a energia cinética se conserva é falsa.
Conclusão do Passo 3: a afirmativa II é falsa.

Passo 4

Análise detalhada da afirmativa III.
  • Dinâmica do projétil (sem resistência do ar): a velocidade inicial tem componentes
v_x = v_0\cos\theta,\qquad v_y(t)=v_0\sin\theta - g t.
  • Propriedade importante: v_x é constante ao longo da trajetória (não há aceleração horizontal), v_y muda por causa de g. No ponto mais alto (ápice) da trajetória temos v_y=0 instantaneamente, mas v_x permanece v_0\cos\theta.
  • Energia cinética geral:
K=\tfrac12 m (v_x^2 + v_y^2).
No ápice v_y=0, portanto
K_{\text{ápice}}=\tfrac12 m v_x^2=\tfrac12 m (v_0\cos\theta)^2.á
  • Observação: salvo o caso especial em que \cos\theta=0 (lançamento vertical para cima, \theta=90^\circ), v_0\cos\theta\neq 0 e portanto K_{\text{ápice}}á não é zero.
  • A afirmativa III diz duas coisas encadeadas: (i) o máximo de energia potencial ocorre no ponto de altura máxima — isso é correto; (ii) naquele ponto a energia cinética será E_{C\text{ min}}=0 — isso é, em geral, incorreto para um projétil lançado com ângulo \theta genérico, porque o componente horizontal da velocidade permanece e dá energia cinética não nula no ápice.
  • Exemplo numérico rápido (apenas ilustrativo): se v_0=10\\ \mathrm{m/s} e \theta=45^\circ, então v_x=10\cos45^\circ\approx7{,}07\\ \mathrm{m/s}, logo K_{\text{ápice}}=\tfrac12 m (7{,}07)^2á — claramente não zero.
  • Portanto a parte final da afirmativa III é falsa, mesmo que a primeira parte (potencial máxima no ápice) seja verdadeira.
Conclusão do Passo 4: a afirmativa III é falsa.

Passo 5

Síntese final das três análises:
  • I: verdadeira.
  • II: falsa.
  • III: falsa.
Portanto apenas a afirmativa I está correta.

Resposta

h. Apenas a afirmativa I está correta.

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