Considere as 3 afirmativas a seguir:
I) O trabalho total realizado pelas forças que atuam sobre uma partícula é sempre igual à variação de energia mecânica da mesma.
II) Uma vez que a força de atrito cinético tem módulo constante igual a \left|\vec{F}_{a t}\right|=\mu|\vec{N}|, podemos associar a essa força uma energia potencial U=-\mu N x. Onde x é o deslocamento na direção da força e o sinal negativo reflete o fato de a força de atrito se opor ao movimento.
III) Considere um satélite artificial sob a ação da força gravitacional exercida por um planeta. Ao passar de uma órbita de raio r_{1} para uma de raio r_{2} o trabalho realizado sobre o satélite pela força gravitacional terá sido de W=G m M\left(\frac{r_{1}-r_{2}}{r_{2} r_{1}}\right).
Quais das afirmativas acima são verdadeiras?
Escolha uma opção:
◯ a. Apenas a afirmativa I é verdadeira.
◯ b. Apenas a afirmativa II é verdadeira.
◯ c. Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
◯ d. Apenas a afirmativa III é verdadeira.
◯ e. Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
◯ f. Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
◯ g. Todas as afirmativas são verdadeiras.
◯ h. Nenhuma das afirmativas é verdadeira.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado apresenta três afirmativas (I, II, III) sobre trabalho e energia e pede para identificar quais são verdadeiras entre as opções dadas.
  • Afirmativa I: “O trabalho total realizado pelas forças que atuam sobre uma partícula é sempre igual à variação de energia mecânica da mesma.”
  • Afirmativa II: “Como a força de atrito cinético tem módulo constante \left|\vec{F}_{at}\right|=\mu|\vec{N}|, podemos associar a essa força uma energia potencial \displaystyle U=-\mu N x, onde x é o deslocamento na direção da força e o sinal negativo reflete que a força de atrito se opõe ao movimento.”
  • Afirmativa III: “Para um satélite sob a força gravitacional de um planeta, ao passar de uma órbita de raio r_{1} para uma de raio r_{2} o trabalho realizado pela força gravitacional é \displaystyle W=G m M\left(\frac{r_{1}-r_{2}}{r_{2} r_{1}}\right).”
O que preciso responder: indicar quais das afirmativas I, II, III são verdadeiras (escolher a opção correta entre a–h).

Passo 2

Analisando a afirmativa I passo a passo (definições e teorema essencial).
  • Primeiro, lembrar a definição do trabalho total realizado sobre uma partícula: é a soma (ou integral) dos trabalhos de todas as forças que atuam sobre ela durante um deslocamento. Denotando o trabalho total por W_{\text{tot}}.
  • A energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade v é dada por K=\dfrac{1}{2}m v^{2}.
  • O teorema do trabalho e energia (work–energy theorem) diz que o trabalho total sobre uma partícula é igual à variação de sua energia cinética:
W_{\text{tot}}=\Delta K=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.
  • Energia mecânica costuma ser definida como a soma da energia cinética K com as energias potenciais U associadas às forças conservativas: \displaystyle E_{\text{mec}}=K+U.
Observação chave (sem cálculo ainda): a afirmativa I substitui \Delta K por \Delta E_{\text{mec}}. Isso só seria verdade em casos especiais, não sempre. Portanto a afirmativa I está, em geral, incorreta. Vou explicar por que e dar um exemplo concreto no próximo passo.

Passo 3

Mostrando com um exemplo por que a afirmativa I é falsa (caso concreto e interpretação física).
  • Considere só forças conservativas atuando (por exemplo, uma massa ligada a uma mola ou apenas a gravidade). Para uma força conservativa \vec{F}_{c} existe potencial U tal que \vec{F}_{c}=-\nabla U.
  • O trabalho da(s) força(s) conservativa(s) quando a partícula vai de A para B é W_{c}=U(A)-U(B)=-\Delta U.
  • O trabalho total W_{\text{tot}} (se só houver forças conservativas) é W_{\text{tot}}=W_{c}=-\Delta U. Pelo teorema do trabalho e energia, também W_{\text{tot}}=\Delta K. Logo \Delta K=-\Delta U, ou seja \Delta(K+U)=0. Isso significa que a energia mecânica E_{\text{mec}}=K+U é conservada (não muda), portanto \Delta E_{\text{mec}}=0.
  • Conclusão no caso: W_{\text{tot}}=\Delta K em geral, e normalmente W_{\text{tot}}\neq\Delta E_{\text{mec}} (por exemplo, se há só forças conservativas então W_{\text{tot}}=\Delta K mas \Delta E_{\text{mec}}=0, logo diferente).
  • Outro caso: se existem forças não conservativas (atrito, força de resistência etc.), o trabalho total inclui trabalho não conservativo W_{nc} e trabalho conservativo W_{c}. Relação útil:
W_{\text{tot}}=W_{c}+W_{nc}=\Delta K.
Mas podemos reorganizar e obter
W_{nc}=\Delta K - W_{c}=\Delta K + \Delta U=\Delta (K+U)=\Delta E_{\text{mec}}.
Isto mostra uma identidade correta: o trabalho das forças não conservativas é igual à variação da energia mecânica, não o trabalho total, salvo em casos particulares.
  • Portanto a afirmativa I, que afirma igualdade entre trabalho total e variação da energia mecânica “sempre”, é falsa. A igualdade correta e geral é W_{\text{tot}}=\Delta K; e W_{nc}=\Delta E_{\text{mec}}.

Passo 4

Analisando a afirmativa II (atribuindo potencial ao atrito).
  • Definição: uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza entre dois pontos depende apenas dos pontos finais e iniciais, não do caminho percorrido. Uma consequência é que existe uma função U(\vec{r}) (energia potencial) tal que \vec{F}=-\nabla U.
  • A força de atrito cinético típica tem módulo constante \left|\vec{F}_{at}\right|=\mu N e a direção é sempre oposta ao sentido do movimento instantâneo. Duas propriedades importantes:
    1. O trabalho da força de atrito ao longo de um deslocamento depende do comprimento do trajeto percorrido (quanto maior o caminho, maior o trabalho dissipado), isto é, depende do caminho, não só dos pontos extremos.
    2. Em um percurso fechado o trabalho da força de atrito é negativo e proporcional ao comprimento do laço (não é zero). Para uma força conservativa, o trabalho numa volta fechada deve ser zero.
  • Por isso a força de atrito é NÃO conservativa e NÃO admite função potencial global U tal que \vec{F}_{at}=-\nabla U.
  • Além disso, testar a expressão proposta: se alguém define \displaystyle U(x)=-\mu N x (em 1D), então a força associada a esse potencial seria
F_x=-\frac{dU}{dx}=-\frac{d(-\mu N x)}{dx}=\mu N.
Isto dá uma força constante no sentido positivo de x. Mas a força de atrito, quando o objeto se desloca positivamente (no sentido +x), é \displaystyle F_{at}=-\mu N, ou seja, a força efetiva é negativa (opõe-se ao movimento). O sinal fica trocado: a expressão proposta não corresponde sequer ao sinal correto quando se aplica a fórmula padrão F=-dU/dx.
  • Além do sinal, mesmo se alguém tentasse ajustar o sinal, a dependência somente de x e a existência de U implicariam que o trabalho depende apenas dos pontos finais, o que contradiz a natureza dissipativa e dependente do caminho do atrito.
  • Conclusão: não é possível associar uma energia potencial do tipo proposta à força de atrito cinético. A afirmativa II é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmativa III (trabalho da força gravitacional entre duas órbitas).
  • Força gravitacional sobre massa m causada por massa M é central radial e tem módulo
\left|\vec{F}_{g}\right|=\frac{G M m}{r^{2}},
com direção apontando para o centro (vetor \vec{F}_{g}=-\dfrac{G M m}{r^{2}}\hat{r}).
  • O trabalho realizado pela força gravitacional quando o satélite se move radialmente de r_{1} para r_{2} (supondo deslocamento puramente radial) é dado pela integral escalar
W=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\vec{F}_{g}\cdot d\vec{r}.
Como \vec{F}_{g} e d\vec{r} são colineares nessa variação radial, podemos escrever (com o sinal da força já incluído)
W=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\left(-\frac{G M m}{r^{2}}\right)\,dr.
  • Calcule a integral:
W=-G M m\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{1}{r^{2}}\,dr =-G M m\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_{1}}^{r_{2}} =-G M m\left(-\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{1}}\right).
  • Reorganizando:
W=G M m\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}\right) =G M m\left(\frac{r_{1}-r_{2}}{r_{1} r_{2}}\right).
  • Essa expressão é exatamente a que aparece na afirmativa III. Portanto a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo e conclusão final lógica com base nas análises anteriores.
  • I é falsa porque o trabalho total é igual à variação da energia cinética \Delta K; apenas o trabalho das forças não conservativas é igual à variação da energia mecânica \Delta E_{\text{mec}}.
  • II é falsa porque a força de atrito é não conservativa (trabalho depende do caminho) e não admite um potencial U global do tipo proposto; além disso a derivada do U proposto dá sinal errado.
  • III é verdadeira: a expressão foi deduzida pela integral do campo gravitacional central e confere com a fórmula dada.

Resposta

d. Apenas a afirmativa III é verdadeira.

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