Um recipiente contém 6 moléculas distinguíveis de um gás ideal que podem ocupar dois compartimentos de mesmo volume, A e B .
Calcule o número de microestados possíveis para a distribuição em que 3 moléculas estão em A e 3 em B e a entropia correspondente. [ \mathrm{R}=20 e 4,13 \times 10^{-23} \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} ]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular o número de microestados possíveis quando exatamente 3 das 6 moléculas distinguíveis estão no compartimento A e 3 estão no compartimento B.
  • Calcular a entropia correspondente a essa distribuição.
Informações relevantes dadas:
  • 6 moléculas, todas distinguíveis.
  • Cada molécula pode ocupar A ou B.
  • Constante de Boltzmann fornecida: k = 4{,}13\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 2

Entender o que é um microestado aqui e como contá-los.
Um microestado é uma configuração detalhada que especifica, para cada molécula distinguível, em qual compartimento ela está. Como as moléculas são distinguíveis, ao escolher quais 3 moléculas vão para A (e as outras 3 automaticamente ficam em B) cada escolha distinta corresponde a um microestado distinto.
Para contar quantas escolhas distintas de 3 moléculas entre 6 existem, usamos o coeficiente binomial (combinação), cuja fórmula é
\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!},
onde n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1 (fatorial). Aqui n=6 e r=3.

Passo 3

Calcular o número de microestados W.
Aplicando a fórmula da combinação:
W=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\,3!}.
Calculemos passo a passo:
6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720,
3!=3\cdot2\cdot1=6,
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W=\frac{720}{6\cdot6}=\frac{720}{36}=20.
Portanto existem 20 microestados distintos com exatamente 3 moléculas em A e 3 em B.

Passo 4

Introduzir a fórmula da entropia estatística (Boltzmann) e explicar seus termos.
A entropia associada a um conjunto de microestados equiprováveis é dada pela fórmula de Boltzmann:
S = k \ln W,
onde
  • S é a entropia (em \mathrm{J\,K^{-1}}),
  • k é a constante de Boltzmann (aqui dada: k=4{,}13\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}),
  • W é o número de microestados compatíveis com a macroconfiguração (aqui W=20),
  • \ln é o logaritmo natural.
Essa fórmula mede a “quantidade de desordem” ou o número de maneiras microscopicamente diferentes de realizar a mesma situação macroscópica.

Passo 5

Calcular numericamente a entropia usando W=20.
Primeiro calcule o logaritmo natural de 20:
\ln 20 \approx 2{,}9957322736.
Agora aplique a fórmula:
S = k \ln W = \left(4{,}13\times10^{-23}\right)\cdot 2{,}9957322736.
Multiplicando:
S \approx 1{,}237\times10^{-22}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Arredondando de forma conveniente (duas casas significativas na mantissa, compatível com a precisão de k fornecida):
S \approx 1{,}24\times10^{-22}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo.
  • O número W=20 vem só da contagem combinatória: quantas maneiras de escolher 3 moléculas dentre 6.
  • A entropia S obtida com S=k\ln W é a entropia configuracional associada à distribuição 3–3 entre os dois compartimentos.
    Boa! Você já entendeu a ideia: contar microestados com combinações e converter em entropia com a fórmula de Boltzmann — é uma técnica que cai muito em provas. Força nos estudos, você está indo bem.

Resposta

W=20
S\approx1{,}24\times10^{-22}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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