Um recipiente contém 6 moléculas distinguíveis de um gás ideal que podem ocupar dois compartimentos de mesmo volume, A e B .
Calcule o número de microestados possíveis para a distribuição em que 3 moléculas estão em A e 3 em B e a entropia correspondente. [
e
]
Calcule o número de microestados possíveis para a distribuição em que 3 moléculas estão em A e 3 em B e a entropia correspondente. [
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular o número de microestados possíveis quando exatamente 3 das 6 moléculas distinguíveis estão no compartimento
e 3 estão no compartimento . - Calcular a entropia correspondente a essa distribuição.
Informações relevantes dadas:
- Há
moléculas, todas distinguíveis. - Cada molécula pode ocupar
ou . - Constante de Boltzmann fornecida:
.
Passo 2
Entender o que é um microestado aqui e como contá-los.
Um microestado é uma configuração detalhada que especifica, para cada molécula distinguível, em qual compartimento ela está. Como as moléculas são distinguíveis, ao escolher quais 3 moléculas vão para
(e as outras 3 automaticamente ficam em
) cada escolha distinta corresponde a um microestado distinto.
Para contar quantas escolhas distintas de 3 moléculas entre 6 existem, usamos o coeficiente binomial (combinação), cuja fórmula é
onde
(fatorial). Aqui
e
.
Passo 3
Calcular o número de microestados
.
Aplicando a fórmula da combinação:
Calculemos passo a passo:
logo
Portanto existem
microestados distintos com exatamente 3 moléculas em
e 3 em
.
Passo 4
Introduzir a fórmula da entropia estatística (Boltzmann) e explicar seus termos.
A entropia associada a um conjunto de microestados equiprováveis é dada pela fórmula de Boltzmann:
onde
-
é a entropia (em ), -
é a constante de Boltzmann (aqui dada: ), -
é o número de microestados compatíveis com a macroconfiguração (aqui ), -
é o logaritmo natural.
Essa fórmula mede a “quantidade de desordem” ou o número de maneiras microscopicamente diferentes de realizar a mesma situação macroscópica.
Passo 5
Calcular numericamente a entropia usando
.
Primeiro calcule o logaritmo natural de
:
Agora aplique a fórmula:
Multiplicando:
Arredondando de forma conveniente (duas casas significativas na mantissa, compatível com a precisão de
fornecida):
Passo 6
Interpretação curta e incentivo.
- O número
vem só da contagem combinatória: quantas maneiras de escolher 3 moléculas dentre 6. - A entropia
obtida com é a entropia configuracional associada à distribuição 3–3 entre os dois compartimentos.
Boa! Você já entendeu a ideia: contar microestados com combinações e converter em entropia com a fórmula de Boltzmann — é uma técnica que cai muito em provas. Força nos estudos, você está indo bem.