Considere agora uma casca cilíndrica de comprimento infinito, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
.
d) calcule a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto no centro.
d) calcule a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto no centro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre física elétrica! A gente tem uma casca cilíndrica infinita, feita de material isolante, carregada de maneira uniforme com uma densidade volumétrica de carga
. A tarefa aqui é descobrir a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa dessa casca e um ponto no centro dela. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss e conceitos de potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída. Como a casca é cilíndrica e infinita, a carga está espalhada uniformemente ao longo do comprimento do cilindro. A densidade volumétrica de carga
nos diz quanto de carga tem por unidade de volume.
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico gerado por essa distribuição de carga. A Lei de Gauss nos ajuda a calcular campos elétricos de distribuições de carga com alta simetria, como essa casca cilíndrica.
Passo 4
Escolhemos uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com a casca, de raio
e comprimento
. Dependendo se
é menor ou maior que o raio da casca (
), o campo elétrico será diferente.
Passo 5
Para
(fora da casca), todo o campo elétrico devido à casca infinita é perpendicular à superfície gaussiana e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície. Usando a Lei de Gauss:
Onde
(carga dentro do raio
).
Passo 6
Resolvendo para
:
Esse é o campo elétrico fora da casca (
).
Passo 7
Para
(dentro da casca), como a casca é infinita e a carga está na superfície, não há carga interna à nossa superfície gaussiana. Então, pelo Gauss,
dentro da casca.
Passo 8
Agora, vamos calcular a diferença de potencial elétrico
entre um ponto na superfície externa (
) e o centro (
). Lembrando que o potencial é dado por:
Passo 9
Dentro da casca (
), já vimos que
. Então, a integral do potencial dentro da casca é zero. Ou seja, o potencial no centro é o mesmo que o potencial na superfície interna da casca.
Passo 10
Fora da casca (
), o campo elétrico é
. Para calcular o potencial na superfície externa em relação ao centro, integramos de
até
:
Assumindo que
,
Mas como a casca é infinita, precisamos reconsiderar a abordagem.
Passo 11
Na verdade, para uma casca infinita, o potencial no centro pode ser considerado infinito devido à extensão infinita da carga. Porém, a diferença de potencial entre o centro e a superfície externa pode ser calculada considerando uma referência adequada. Se assumirmos que
, então o potencial no centro tende a zero, e na superfície externa também tende a zero, resultando em uma diferença de potencial
.
Resposta
A diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa da casca cilíndrica infinita e um ponto no centro é
volts.