Considere agora uma casca cilíndrica de comprimento infinito, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga rho.
d) calcule a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto no centro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre física elétrica! A gente tem uma casca cilíndrica infinita, feita de material isolante, carregada de maneira uniforme com uma densidade volumétrica de carga rho. A tarefa aqui é descobrir a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa dessa casca e um ponto no centro dela. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss e conceitos de potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída. Como a casca é cilíndrica e infinita, a carga está espalhada uniformemente ao longo do comprimento do cilindro. A densidade volumétrica de carga rho nos diz quanto de carga tem por unidade de volume.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico gerado por essa distribuição de carga. A Lei de Gauss nos ajuda a calcular campos elétricos de distribuições de carga com alta simetria, como essa casca cilíndrica.

Passo 4

Escolhemos uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com a casca, de raio r e comprimento L. Dependendo se r é menor ou maior que o raio da casca ( R), o campo elétrico será diferente.

Passo 5

Para r > R (fora da casca), todo o campo elétrico devido à casca infinita é perpendicular à superfície gaussiana e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície. Usando a Lei de Gauss:
PhiE = E cdot 2pi r L = Qinternovarepsilon0
Onde Qinterno = rho cdot pi R^2 L (carga dentro do raio R).

Passo 6

Resolvendo para E:
E = rho R^22 varepsilon0 r
Esse é o campo elétrico fora da casca ( r > R).

Passo 7

Para r < R (dentro da casca), como a casca é infinita e a carga está na superfície, não há carga interna à nossa superfície gaussiana. Então, pelo Gauss, E = 0 dentro da casca.

Passo 8

Agora, vamos calcular a diferença de potencial elétrico V entre um ponto na superfície externa ( r = R) e o centro ( r = 0). Lembrando que o potencial é dado por:
V = - integral0^R E cdot dl

Passo 9

Dentro da casca ( 0 <= r <= R), já vimos que E = 0. Então, a integral do potencial dentro da casca é zero. Ou seja, o potencial no centro é o mesmo que o potencial na superfície interna da casca.

Passo 10

Fora da casca ( r >= R), o campo elétrico é E = rho R^22 varepsilon0 r. Para calcular o potencial na superfície externa em relação ao centro, integramos de R até infty:
V(R) - V(infty) = - integralR^infty rho R^22 varepsilon0 r dr
Assumindo que V(infty) = 0,
V(R) = - rho R^22 varepsilon0 integralR^infty 1r dr = rho R^22 varepsilon0 ln(inftyR)
Mas como a casca é infinita, precisamos reconsiderar a abordagem.

Passo 11

Na verdade, para uma casca infinita, o potencial no centro pode ser considerado infinito devido à extensão infinita da carga. Porém, a diferença de potencial entre o centro e a superfície externa pode ser calculada considerando uma referência adequada. Se assumirmos que V(infty) = 0, então o potencial no centro tende a zero, e na superfície externa também tende a zero, resultando em uma diferença de potencial V = 0.

Resposta

A diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa da casca cilíndrica infinita e um ponto no centro é 0 volts.

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