Considere agora que a casca esférica seja de material condutor, carregada com uma carga total Q.
Calcular o potencial elétrico para pontos P(r) com:
r

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem uma casca esférica de material condutor, com carga total , e quer saber o potencial elétrico nos pontos que ficam dentro dessa casca, ou seja, para .
Conteúdo envolvido: eletrostática, especialmente comportamento de condutores em equilíbrio (campo interno zero) e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico. Vamos precisar de:
  • Lei de Gauss pra achar o campo fora da casca;
  • Propriedade de condutores (campo nulo no interior);
  • Relação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um fato chave sobre condutores em equilíbrio eletrostático:
  1. Toda carga líquida fica na superfície externa.
  2. O campo elétrico dentro do material condutor é zero: E(r) = 0 para r < R1
Isso acontece porque, se houvesse campo interno, as cargas continuariam se moverando até anular esse campo.

Passo 3

Para usar a relação potencial–campo, precisamos saber o potencial na superfície E(r) = 14pi epsilon0,Qr^2,, .
Fora da casca (ou seja, para V(r) = -integralinfty^r E(r'),dr' = -integralinfty^r14piepsilon0Qr'^2,dr' = 14piepsilon0,Qr, ), pela Lei de Gauss pra uma esfera carregada:
V(R1) = 14piepsilon0,QR1,
no sentido radial.
O potencial em um ponto qualquer (comparado com ) é
Em particular, na superfície :

Passo 4

Como o interior do condutor ( V(r) = V(R1) = 14piepsilon0,QR1, ) tem , o potencial é constante ali e igual ao valor na superfície. Logo, para qualquer :

Resposta

O potencial elétrico para pontos dentro da casca condutora ( boxed,V(r) = 14piepsilon0,QR1, ) é

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