Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
Calcule
. Note que oscila com o tempo. Qual é a frequência angular da oscilação? Qual é a amplitude da oscilação? (Se sua amplitude for maior do que
, vá direto para o fim.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula num poço quadrado infinito, e a função de onda inicial é uma combinação equilibrada dos dois primeiros estados estacionários. O conteúdo aqui envolve funções de onda, estados estacionários e mecânica quântica básica. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de $ x $, analisar a oscilação no tempo e determinar a frequência angular e a amplitude dessa oscilação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda inicial é dada por:
Aqui, $ A $ é uma constante de normalização, e $ \psi_{1}(x) $ e $ \psi_{2}(x) $ são os dois primeiros estados estacionários do poço.
Passo 3
A constante $ A $ deve ser escolhida para que a função de onda esteja normalizada, ou seja:
Calculando isso:
Como os estados são ortogonais, o cruzamento se anula, e temos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o valor esperado de $ x $, ou seja, $ \langle x \rangle $. Em termos gerais:
Como nossa função de onda é uma superposição de estados estacionários, precisamos considerar a dependência temporal.
Passo 5
A função de onda no tempo é:
Onde $ E_{1} $ e $ E_{2} $ são as energias dos estados $ \psi_{1} $ e $ \psi_{2} $.
Passo 6
Calculando $ \langle x \rangle $:
Expandindo e usando a ortogonalidade ($ \int \psi_{n} \psi_{m} dx = \delta_{nm} $):
Passo 7
Reconhecemos que:
Onde $ \omega = \frac{E_{2} - E_{1}}{\hbar} $ e $ C $ é uma constante real que depende da integral $ \int \psi_{1} x \psi_{2} dx $.
Passo 8
Calculando a frequência angular:
Sabemos que para o poço infinito:
Então:
Passo 9
Agora, a amplitude da oscilação vem da constante $ C $, que está relacionada à integral $ \int \psi_{1} x \psi_{2} dx $. Após calcular essa integral, descobrimos que a amplitude máxima é $ \frac{a}{2} $.
Resposta
A esperança de $ x $ oscila no tempo com frequência angular $ \omega = \frac{3\pi^2 \hbar}{2m a^2} $ e amplitude máxima igual a $ \frac{a}{2} $.