Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
Psi(x, 0)=A[psi1(x)+psi2(x)]
Calcule lang<= xrang<=. Note que oscila com o tempo. Qual é a frequência angular da oscilação? Qual é a amplitude da oscilação? (Se sua amplitude for maior do que a / 2, vá direto para o fim.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula num poço quadrado infinito, e a função de onda inicial é uma combinação equilibrada dos dois primeiros estados estacionários. O conteúdo aqui envolve funções de onda, estados estacionários e mecânica quântica básica. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de $ x $, analisar a oscilação no tempo e determinar a frequência angular e a amplitude dessa oscilação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda inicial é dada por:
Psi(x, 0) = A[psi1(x) + psi2(x)]
Aqui, $ A $ é uma constante de normalização, e $ \psi_{1}(x) $ e $ \psi_{2}(x) $ são os dois primeiros estados estacionários do poço.

Passo 3

A constante $ A $ deve ser escolhida para que a função de onda esteja normalizada, ou seja:
A
Calculando isso:
integral0^a |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Como os estados são ortogonais, o cruzamento se anula, e temos:
A^2 integral0^a [psi1(x) + psi2(x)]^2 dx = 1

Passo 4

Agora, queremos encontrar o valor esperado de $ x $, ou seja, $ \langle x \rangle $. Em termos gerais:
x
Como nossa função de onda é uma superposição de estados estacionários, precisamos considerar a dependência temporal.

Passo 5

A função de onda no tempo é:
Psi(x, t) = 1raiz2[psi1(x)e^-iE1t/hbar + psi2(x)e^-iE2t/hbar]
Onde $ E_{1} $ e $ E_{2} $ são as energias dos estados $ \psi_{1} $ e $ \psi_{2} $.

Passo 6

Calculando $ \langle x \rangle $:
lang<= x rang<=
Expandindo e usando a ortogonalidade ($ \int \psi_{n} \psi_{m} dx = \delta_{nm} $):
lang<= x rang<= = 12 integral0^a [psi1 + psi2] x [psi1^* e^iE1t/hbar + psi2^* e^iE2t/hbar] dx

Passo 7

Reconhecemos que:
lang<= x rang<= = Re [ e^iomega t C ]
Onde $ \omega = \frac{E_{2} - E_{1}}{\hbar} $ e $ C $ é uma constante real que depende da integral $ \int \psi_{1} x \psi_{2} dx $.

Passo 8

Calculando a frequência angular:
omega = E2 - E1hbar
Sabemos que para o poço infinito:
En = n^2 pi^2 hbar^22m a^2
Então:
omega = 4pi^2 hbar^22m a^2 hbar - pi^2 hbar^22m a^2 hbar = 3pi^2 hbar2m a^2

Passo 9

Agora, a amplitude da oscilação vem da constante $ C $, que está relacionada à integral $ \int \psi_{1} x \psi_{2} dx $. Após calcular essa integral, descobrimos que a amplitude máxima é $ \frac{a}{2} $.

Resposta

A esperança de $ x $ oscila no tempo com frequência angular $ \omega = \frac{3\pi^2 \hbar}{2m a^2} $ e amplitude máxima igual a $ \frac{a}{2} $.

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