Considere agora a função dada analiticamente por: ( 1,5 ponto)
y=c 11+e^1x se x neq 0 0 se x=0
E responda:
a) Há pontos de descontinuidade para esta função? Quais?
b) Classifique as descontinuidades quanto ao tipo, se aplicável.
c) Em caso de descontinuidade de segunda espécie, determine se a função é contínua à esquerda ou à direita, se for aplicável.

Passo 1

Resumimos o enunciado: a função é dada por f(x)=11+e^1/x para xneq0 e f(0)=0. Queremos estudar continuidade e descontinuidades, sabendo que onde a expressão analítica existe ( xneq0) ela é contínua.

Passo 2

Vamos analisar o ponto x=0. Calculamos os limites laterais: limxto0^+f(x)=limxto0^+11+e^1/x=0, pois e^1/xto+infty; e limxto0^-f(x)=limxto0^-11+e^1/x=1, pois e^1/xto0.

Passo 3

Comparamos os limites laterais e o valor em x=0: temos limxto0^+f(x)=0=f(0) e limxto0^-f(x)=1neq0. Logo, há descontinuidade em x=0; como ambos os limites são finitos mas diferentes, trata-se de descontinuidade de primeira espécie (salto).

Passo 4

Não ocorre descontinuidade de segunda espécie, pois não há limite lateral infinito ou inexistente. Observa-se ainda que f é contínua pela direita em x=0, já que limxto0^+f(x)=f(0), mas não pela esquerda.

Resposta

a) Há descontinuidade apenas em x=0. b) É descontinuidade de primeira espécie (salto). c) Não há descontinuidade de segunda espécie; a função é contínua à direita em x=0 ( limxto0^+f(x)=f(0)=0), mas não à esquerda.

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