Resolva os limites a seguir: lim x -infty raizx^2+2 x+3+x (1,5 ponto)

Passo 1

A questão pede para calcular o limite
x→−∞ de √(x²+2x+3)+x. O conteúdo aqui é limites no infinito envolvendo radicais. Vamos precisar usar duas ideias principais: primeiro, reconhecer que √(x²+…)=|x|·√(1+…) e segundo racionalizar a expressão usando o conjugado para lidar com a forma ∞−∞.

Passo 2

Vamos trocar x por −t, com t→+∞, para tornar o valor dentro da raiz mais manejável. Seja x=−t. Então a expressão vira
√(t²−2t+3)−t.
Agora temos o limite t→+∞ de √(t²−2t+3)−t.

Passo 3

Para tratar o tipo ∞−∞, racionalizamos multiplicando por o conjugado √(t²−2t+3)+t sobre ele mesmo. Assim:
(√(t²−2t+3)−t)·(√(t²−2t+3)+t)/(√(t²−2t+3)+t)
o numerador fica (t²−2t+3)−t²=−2t+3, e o denominador é √(t²−2t+3)+t.

Passo 4

Fatoramos t no denominador para isolar o comportamento em t:
(−2t+3)/(√(t²−2t+3)+t)
= (−2t+3)/[t(√(1−2/t+3/t²)+1)].
Agora dividimos numerador e denominador por t:
(−2+3/t)/(√(1−2/t+3/t²)+1).

Passo 5

À medida que t→+∞, 3/t→0 e √(1−2/t+3/t²)→1. Então o numerador →−2 e o denominador →(1+1)=2. Logo o quociente →−2/2=−1.

Passo 6

Portanto, voltando à variável original x, o limite é −1.

Resposta

−1

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