Resolva os limites a seguir:
(1,5 ponto)
Passo 1
A questão pede para calcular o limite
x→−∞ de √(x²+2x+3)+x. O conteúdo aqui é limites no infinito envolvendo radicais. Vamos precisar usar duas ideias principais: primeiro, reconhecer que √(x²+…)=|x|·√(1+…) e segundo racionalizar a expressão usando o conjugado para lidar com a forma ∞−∞.
x→−∞ de √(x²+2x+3)+x. O conteúdo aqui é limites no infinito envolvendo radicais. Vamos precisar usar duas ideias principais: primeiro, reconhecer que √(x²+…)=|x|·√(1+…) e segundo racionalizar a expressão usando o conjugado para lidar com a forma ∞−∞.
Passo 2
Vamos trocar x por −t, com t→+∞, para tornar o valor dentro da raiz mais manejável. Seja x=−t. Então a expressão vira
√(t²−2t+3)−t.
Agora temos o limite t→+∞ de √(t²−2t+3)−t.
Passo 3
Para tratar o tipo ∞−∞, racionalizamos multiplicando por o conjugado √(t²−2t+3)+t sobre ele mesmo. Assim:
(√(t²−2t+3)−t)·(√(t²−2t+3)+t)/(√(t²−2t+3)+t)
o numerador fica (t²−2t+3)−t²=−2t+3, e o denominador é √(t²−2t+3)+t.
Passo 4
Fatoramos t no denominador para isolar o comportamento em t:
(−2t+3)/(√(t²−2t+3)+t)
= (−2t+3)/[t(√(1−2/t+3/t²)+1)].
Agora dividimos numerador e denominador por t:
(−2+3/t)/(√(1−2/t+3/t²)+1).
Passo 5
À medida que t→+∞, 3/t→0 e √(1−2/t+3/t²)→1. Então o numerador →−2 e o denominador →(1+1)=2. Logo o quociente →−2/2=−1.
Passo 6
Portanto, voltando à variável original x, o limite é −1.
Resposta
−1