Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, onde F é o campo vetorial F(x, y, z)=(1, x+y z, x y-raizz) e C é o limite da parte do plano 3 x+2 y+z=1 no primeiro octante, orientado no sentido horário quando visto de cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. A gente tem um campo vetorial e uma curva que é a borda da parte do plano no primeiro octante. Vamos precisar entender um pouquinho sobre cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Stokes e o cálculo do rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como borda. A fórmula é:
Aqui, é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) . Para um campo vetorial partial Fzpartial y &= partialpartial y(x y - raizz) = x partial Fypartial z &= partialpartial z(x + y z) = y partial Fxpartial z &= partialpartial z(1) = 0 partial Fzpartial x &= partialpartial x(x y - raizz) = y partial Fypartial x &= partialpartial x(x + y z) = 1 partial Fxpartial y &= partialpartial y(1) = 0 , o rotacional é dado por:
nabla times F = (x - y, 0 - y, 1 - 0) = (x - y, -y, 1)
Aplicando isso ao nosso :
Então,

Passo 4

Agora, vamos escolher a superfície z = 1 - 3x - 2y sobre a qual vamos integrar. A superfície é a parte do plano x >= 0, y >= 0, 1 - 3x - 2y >= 0 no primeiro octante. Para facilitar, vamos resolver em função de e :
O primeiro octante significa que , , e são todos positivos. Então, os limites para e são:

Passo 5

Vamos agora encontrar o vetor normal à superfície |n| = raiz3^2 + 2^2 + 1^2 = raiz14 . Como a equação do plano é n = 1raiz14(3, 2, 1) , o vetor normal é . Para a integral de superfície, precisamos normalizar esse vetor:
Então, o vetor normal unitário é:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral de superfície. Temos:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaD (nabla times F) cdot n , |n| , dA = integral duplaD (nabla times F) cdot n , dA
Substituindo (nabla times F) cdot n = 3(x - y) + 2(-y) + 1(1) = 3x - 3y - 2y + 1 = 3x - 5y + 1 e 3x + 2y <= 1 :
y <= 1 - 3x2
Agora, precisamos integrar integral0^13 integral0^1 - 3x2 (3x - 5y + 1) , dy , dx sobre a região integral0^1 - 3x2 (3x - 5y + 1) , dy = [3x y - 52 y^2 + y ]0^1 - 3x2 no plano 3x (1 - 3x2) - 52 (1 - 3x2)^2 + (1 - 3x2) - 3x(1 - 3x)2 - 5(1 - 6x + 9x^2)8 + 1 - 3x2 que corresponde à parte do primeiro octante do plano original. A desigualdade integral0^13 ( 3x - 9x^22 - 5 - 30x + 45x^28 + 1 - 3x2 ) dx pode ser reescrita como:
integral0^13 ( 12x - 36x^2 - 5 + 30x - 45x^2 + 4 - 12x8 ) dx = integral0^13 ( 0x - 81x^2 -18 ) dx
Vamos resolver para -818 cdot x^33 - 18x g|0^13 = -8124 (13)^3 - 18 (13) = -8124 cdot 27 - 124 = -81648 - 27648 = -108648 = -16 :
Os limites de integração para vão de 0 a , e para , de 0 a .
Então, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna em :
Substituindo os limites:
Simplificando:
Agora, vamos integrar em :
Simplificando os termos:
Integrando:

Resposta

A integral de linha é .

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