Use o Teorema de Stokes para calcular , onde é o campo vetorial e é o limite da parte do plano no primeiro octante, orientado no sentido horário quando visto de cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. A gente tem um campo vetorial e uma curva que é a borda da parte do plano no primeiro octante. Vamos precisar entender um pouquinho sobre cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Stokes e o cálculo do rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como borda. A fórmula é:
Aqui, é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de . Para um campo vetorial , o rotacional é dado por:
Aplicando isso ao nosso :
Então,
Passo 4
Agora, vamos escolher a superfície sobre a qual vamos integrar. A superfície é a parte do plano no primeiro octante. Para facilitar, vamos resolver em função de e :
O primeiro octante significa que , , e são todos positivos. Então, os limites para e são:
Passo 5
Vamos agora encontrar o vetor normal à superfície . Como a equação do plano é , o vetor normal é . Para a integral de superfície, precisamos normalizar esse vetor:
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral de superfície. Temos:
Substituindo e :
Agora, precisamos integrar sobre a região no plano - que corresponde à parte do primeiro octante do plano original. A desigualdade pode ser reescrita como:
Vamos resolver para :
Os limites de integração para vão de 0 a , e para , de 0 a .